Какова сумма корней уравнения 2cos(x-180)cos(x+270)=sin(x+90), находящихся в интервале (0;360)?

Давайте найдем сначала все корни уравнения \(2 \cos(x-180) \cos(x+270) = \sin(x+90)\) в интервале \((0;360)\).

1. Начнем с преобразования и упрощения уравнения. Мы можем использовать формулу тригонометрии \(2 \cos A \cos B = \cos(A - B) + \cos(A + B)\). Подставим это в наше уравнение:

\[ \cos(x - 180 - x - 90) + \cos(x - 180 + x + 90) = \sin(x + 90) \]

2. Упрощая, получаем:

\[ \cos(-270) + \cos(x) = \sin(x + 90) \]

\[ -\cos(270) + \cos(x) = \sin(x + 90) \]

\[ \cos(90) + \cos(x) = \sin(x + 90) \]

\[ \sin(90 + x) = \sin(x + 90) \]

3. Теперь введем новое уравнение:

\[ 90 + x = x + 90 + 360n \] или \[ 90 + x = 180 - (x + 90) + 360n \]

где \( n \) - любое целое число.

4. Для первого случая:

\[ 90 + x = x + 90 + 360n \]

\[ 0 = 360n \]

Это даёт нам решение \( x = -90 \). Однако, мы должны увидеть, что это значение находится вне интервала \( (0;360) \), поэтому мы его отбрасываем.

5. Для второго случая:

\[ 90 + x = 180 - (x + 90) + 360n \]

\[ 90 + x = 180 - x - 90 + 360n \]

\[ 2x = 180 + 360n \]

\[ x = 90 + 180n \]

где \( n \) - любое целое число.

6. Теперь, чтобы найти значения \( x \) в интервале \( (0;360) \), мы должны рассмотреть ограничения для \( n \):

\[ 0 < x < 360 \]

\[ 0 < 90 + 180n < 360 \]

7. Для \( n = 0 \), получаем:

\[ 0 < 90 + 180(0) < 360 \]

\[ 0 < 90 < 360 \] - удовлетворяет условию.

8. Для \( n = 1 \), получаем:

\[ 0 < 90 + 180(1) < 360 \]

\[ 0 < 270 < 360 \] - удовлетворяет условию.

9. Для \( n = 2 \), получаем:

\[ 0 < 90 + 180(2) < 360 \]

\[ 0 < 450 < 360 \] - не удовлетворяет условию.

10. Итак, решениями уравнения в интервале \( (0;360) \) являются \( x = 90 \) и \( x = 270 \).

11. Чтобы найти сумму корней, просто сложим их:

\[ 90 + 270 = 360 \]

Сумма корней уравнения \( 2 \cos(x-180) \cos(x+270) = \sin(x+90) \), находящихся в интервале \( (0;360) \), равна 360.