Какова сумма геометрической прогрессии, где второй член равен -1 и пятый член равен 27/125?

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что второй член геометрической прогрессии равен -1 и пятый член равен 27/125. Для решения задачи мы должны найти сумму геометрической прогрессии.

Первым шагом нам необходимо найти знаменатель прогрессии. Для этого мы можем воспользоваться формулой для общего члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

Где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

Используя данную формулу, мы можем записать уравнение с известными значениями:

\(-1 = a_1 \cdot r^{(2-1)}\)

Теперь, чтобы найти \(a_1\), давайте рассмотрим пятый член прогрессии:

\[27/125 = a_1 \cdot r^{(5-1)}\]

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(r\)). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения неизвестных.

Для этого поделим оба уравнения друг на друга:

\(\dfrac{-1}{27/125} = \dfrac{a_1 \cdot r^{(2-1)}}{a_1 \cdot r^{(5-1)}}\)

Сокращаем \(a_1\) и упрощаем выражение:

\(\dfrac{-1}{27/125} = \dfrac{r}{r^4}\)

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (\(r\)). Давайте решим его:

\(\dfrac{-1}{27/125} = \dfrac{r}{r^4}\)

Теперь переместим \(r^4\) в числитель и упростим:

\(\dfrac{-125}{27} = \dfrac{r^4}{r}\)

Упростим еще:

\(\dfrac{-125}{27} = r^3\)

Теперь извлекаем кубический корень из обеих сторон:

\(r = \sqrt[3]{\dfrac{-125}{27}}\)

Находим значение \(r\):

\(r = -\dfrac{5}{3}\)

Теперь, когда мы нашли значение \(r\), можем найти \(a_1\). Для этого подставим найденное значение \(r\) в уравнение:

\(-1 = a_1 \cdot (-\dfrac{5}{3})^{(2-1)}\)

Упрощаем:

\(-1 = a_1 \cdot (-\dfrac{5}{3})\)

Теперь разделим обе стороны на \(-\dfrac{5}{3}\) и найдем значение \(a_1\):

\(a_1 = \dfrac{-1}{-\dfrac{5}{3}} = \dfrac{3}{5}\)

Итак, мы нашли значения \(a_1\) и \(r\). Теперь мы можем найти сумму геометрической прогрессии с помощью формулы:

\[S_n = \dfrac{a_1 \cdot (1-r^n)}{1-r}\]

Где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии.

В нашем случае, так как мы ищем сумму всей прогрессии, мы можем использовать формулу:

\[S = \dfrac{a_1}{1-r}\]

Подставим известные значения:

\[S = \dfrac{\frac{3}{5}}{1-\left(-\frac{5}{3}\right)}\]

Вычислим значения:

\[S = \dfrac{\frac{3}{5}}{1+\frac{5}{3}} = \dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{8}{3}}\]

Для удобства деления на дроби домножим дробь на обратную ей:

\[S = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{40}\]

Таким образом, сумма данной геометрической прогрессии равна \(\frac{9}{40}\).