Какова сумма геометрической прогрессии, где второй член равен -1 и пятый член равен 27/125?

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что второй член геометрической прогрессии равен -1 и пятый член равен 27/125. Для решения задачи мы должны найти сумму геометрической прогрессии.

Первым шагом нам необходимо найти знаменатель прогрессии. Для этого мы можем воспользоваться формулой для общего члена геометрической прогрессии:

$$a_n=a_1\cdot r^{(n-1)}$$

Где $a_n$ - n-й член прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии, $n$ - номер члена прогрессии.

Используя данную формулу, мы можем записать уравнение с известными значениями:

$-1=a_1\cdot r^{(2-1)}$

Теперь, чтобы найти $a_1$, давайте рассмотрим пятый член прогрессии:

$$27/125=a_1\cdot r^{(5-1)}$$

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными ($a_1$ и $r$). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения неизвестных.

Для этого поделим оба уравнения друг на друга:

${\displaystyle \frac{-1}{27/125}}={\displaystyle \frac{a_1\cdot r^{(2-1)}}{a_1\cdot r^{(5-1)}}}$

Сокращаем $a_1$ и упрощаем выражение:

${\displaystyle \frac{-1}{27/125}}={\displaystyle \frac{r}{r^4}}$

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной ($r$). Давайте решим его:

${\displaystyle \frac{-1}{27/125}}={\displaystyle \frac{r}{r^4}}$

Теперь переместим $r^4$ в числитель и упростим:

${\displaystyle \frac{-125}{27}}={\displaystyle \frac{r^4}{r}}$

Упростим еще:

${\displaystyle \frac{-125}{27}}=r^3$

Теперь извлекаем кубический корень из обеих сторон:

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{-125}{27}}}$

Находим значение $r$:

$r=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$

Теперь, когда мы нашли значение $r$, можем найти $a_1$. Для этого подставим найденное значение $r$ в уравнение:

$-1=a_1\cdot (-{\displaystyle \frac{5}{3}}{)}^{(2-1)}$

Упрощаем:

$-1=a_1\cdot (-{\displaystyle \frac{5}{3}})$

Теперь разделим обе стороны на $-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ и найдем значение $a_1$:

$a_1={\displaystyle \frac{-1}{-{\displaystyle \frac{5}{3}}}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

Итак, мы нашли значения $a_1$ и $r$. Теперь мы можем найти сумму геометрической прогрессии с помощью формулы:

$$S_n={\displaystyle \frac{a_1\cdot (1-r^n)}{1-r}}$$

Где $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии.

В нашем случае, так как мы ищем сумму всей прогрессии, мы можем использовать формулу:

$$S={\displaystyle \frac{a_1}{1-r}}$$

Подставим известные значения:

$$S={\displaystyle \frac{\frac{3}{5}}{1-(-\frac{5}{3})}}$$

Вычислим значения:

$$S={\displaystyle \frac{\frac{3}{5}}{1+\frac{5}{3}}}={\displaystyle \frac{\frac{3}{5}}{\frac{8}{3}}}$$

Для удобства деления на дроби домножим дробь на обратную ей:

$$S=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{8}=\frac{9}{40}$$

Таким образом, сумма данной геометрической прогрессии равна $\frac{9}{40}$.