Какова средняя плотность планеты радиусом 3400 км, если камень, падая с обрыва высотой 200 м, занимает 10 секунд?

Чтобы решить данную задачу, нам потребуются некоторые физические формулы.

Во-первых, давайте найдем время падения камня. Для этого воспользуемся формулой для свободного падения:

\[h = \frac{1}{2}gt^2,\]

где \(h\) - высота падения, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равное \(9.8 \, \text{м/с}^2\)), и \(t\) - время падения.

Подставив известные значения, получим:

\[200 = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2.\]

После преобразований найдем значение времени \(t\):

\[t^2 = \frac{200 \cdot 2}{9.8}.\]

\[t^2 \approx 40.816,\]

\[t \approx \sqrt{40.816} \approx 6.38 \, \text{сек}.\]

Теперь, чтобы найти ускорение \(g\), воспользуемся формулой пути равноускоренного движения:

\[h = vt - \frac{1}{2}gt^2,\]

где \(v\) - начальная скорость (в данной задаче равна нулю).

Подставим значение высоты \(h\), время падения \(t\) и начальную скорость \(v = 0\):

\[200 = 0 - \frac{1}{2}g \cdot 6.38^2.\]

После преобразований найдем значение ускорения \(g\):

\[g \approx \frac{2 \cdot 200}{6.38^2}.\]

\[g \approx \frac{400}{40.7044}.\]

\[g \approx 9.824 \, \text{м/с}^2.\]

Теперь, чтобы найти среднюю плотность планеты, воспользуемся следующей формулой:

\[d = \frac{3M}{4\pi R^3},\]

где \(d\) - плотность, \(M\) - масса, и \(R\) - радиус.

Для нахождения массы планеты нам потребуется использовать массу камня, используя следующую формулу:

\[m = \frac{W}{g},\]

где \(m\) - масса, а \(W\) - вес.

Вес камня можно выразить как:

\[W = mg,\]

где \(g\) - ускорение свободного падения.

Подставив значение ускорения свободного падения и время падения, получим:

\[W = m \cdot 9.8.\]

Известно, что время падения равно 10 секунд, поэтому:

\[W = m \cdot 9.8 = m \cdot g = mg,\]

\[W = 9.8m.\]

Но нам известно также, что время падения равно 10 секунд, поэтому:

\[9.8m = 10m = W.\]

Теперь можем подставить значение веса камня в формулу для массы планеты:

\[M = \frac{W}{g} = \frac{10m}{g}.\]

Теперь, использовав известные значения массы камня, можно найти массу планеты:

\[M = \frac{10 \cdot 200}{9.8}.\]

\[M \approx \frac{2000}{9.8}.\]

\[M \approx 204.08 \, \text{кг}.\]

Подставив все известные значения в формулу для плотности, получим:

\[d = \frac{3 \cdot 204.08}{4\pi (3400 \times 1000)^3}.\]

\[d \approx \frac{612.24}{4 \cdot 3.14 \cdot (3400 \times 1000)^3}.\]

\[d \approx \frac{612.24}{4 \cdot 3.14 \cdot 3.4 \times 10^9}.\]

После преобразований:

\[d \approx \frac{612.24}{42.748 \times 10^9}.\]

\[d \approx \frac{612.24}{4.2748 \times 10^{10}}.\]

\[d \approx 1.43 \times 10^{-8} \, \text{кг/м}^3.\]

Таким образом, средняя плотность планеты радиусом 3400 км составляет примерно \(1.43 \times 10^{-8}\) кг/м³.