Какова скорость течения реки, если моторная лодка против него прошла 77 км и вернулась в начальную точку за 4 часа

Чтобы определить скорость течения реки, мы можем использовать следующий подход: давайте предположим, что скорость течения реки равна \(v\) км/ч.

Когда лодка движется против течения реки, ее эффективная скорость уменьшается на скорость течения, поэтому она движется со скоростью \(9 - v\) км/ч.
Когда лодка движется в направлении течения реки, ее эффективная скорость увеличивается на скорость течения, поэтому она движется со скоростью \(9 + v\) км/ч.

Исходя из условия, давайте рассмотрим время, за которое лодка прошла 77 км против течения реки.
Мы можем использовать формулу времени, расстояния и скорости:
\[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \]

Используя формулу, получим:
\[ \text{время на пути против течения} = \frac{77}{9 - v} \]

Также в условии сказано, что время возвращения лодки в начальную точку было на 4 часа быстрее, чем время против течения. Поэтому мы можем записать это в виде уравнения:
\[ \frac{77}{9 - v} = \frac{77}{9 + v} - 4 \]

Решая это уравнение, мы можем найти значение \(v\) - скорость течения реки.

Давайте приступим к расчетам:
\[ \frac{77}{9 - v} = \frac{77}{9 + v} - 4 \]

Умножим оба выражения на \((9 - v)(9 + v)\) для устранения знаменателей:
\[ 77(9 + v) = 77(9 - v) - 4(9 - v)(9 + v) \]

Раскроем скобки:
\[ 693 + 77v = 693 - 77v - 4(81 - v^2) \]

Упростим:
\[ 77v = - 4(81 - v^2) \]

Раскроем скобки:
\[ 77v = -324 + 4v^2 \]

Перепишем уравнение в квадратичной форме:
\[ 4v^2 + 77v - 324 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[
\begin{align*}
v &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\
v &= \frac{-77 \pm \sqrt{(77)^2 - 4(4)(-324)}}{2(4)}
\end{align*}
\]

Выполняя вычисления, получим два значения для \(v\): \(v_1 \approx 6.625\) и \(v_2 \approx -12.625\).
Мы ищем физически реалистичное значение скорости, поэтому положительное значение \(v_1 \approx 6.625\) км/ч будет нашим ответом.

Таким образом, скорость течения реки равна примерно 6.625 км/ч.