Какова скорость течения реки, если два друга в одной лодке проплыли 10 км вдоль берега и вернулись по тому же маршруту

Для решения данной задачи нам потребуется ввести следующие обозначения:

Пусть \( v \) - скорость течения реки (в км/ч), а \( x \) - скорость лодки в стоячей воде (в км/ч).

Рассмотрим первую часть пути, где друзья идут по течению. Из условия задачи известно, что они потратили на каждые 3 км по течению столько же времени, сколько и на каждые 2 км против течения. Это означает, что скорость лодки относительно воды при движении по течению составляет \( x + v \) (так как каждый километр лодка "пробегает" за одно и то же время, что и 2 км против течения). Следовательно, время \( t_1 \), затраченное на прохождение первой части пути, выражается следующим образом:

\[ t_1 = \frac{{10 \, \text{км}}}{{x + v}} \]

Теперь рассмотрим вторую часть пути, где друзья плывут против течения. Здесь скорость лодки относительно воды составляет \( x - v \) (так как каждый километр лодка "пробегает" за одно и то же время, что и 3 км по течению). Время \( t_2 \), затраченное на прохождение второй части пути, может быть записано следующим образом:

\[ t_2 = \frac{{10 \, \text{км}}}{{x - v}} \]

Также из условия задачи известно, что друзья вернулись по тому же маршруту через 5 часов после отплытия. Это значит, что сумма времени, затраченного на первую и вторую части пути, равна 5 часам:

\[ t_1 + t_2 = 5 \, \text{ч} \]

Итак, у нас получилась система из трех уравнений с тремя неизвестными. Решим ее методом подстановки.

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение \( t_1 + t_2 = 5 \):

\[ \frac{{10 \, \text{км}}}{{x + v}} + \frac{{10 \, \text{км}}}{{x - v}} = 5 \, \text{ч} \]

Домножим обе части уравнения на \( (x + v)(x - v) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 10(x - v) + 10(x + v) = 5(x + v)(x - v) \]

Распишем умножение скобок справа:

\[ 20x - 20v + 20x + 20v = 5(x^2 - v^2) \]

Упростим уравнение:

\[ 40x = 5x^2 - 5v^2 \]

Теперь приведем его к квадратному виду:

\[ 5x^2 - 40x - 5v^2 = 0 \]

Разделим обе части уравнения на 5:

\[ x^2 - 8x - v^2 = 0 \]

Получили квадратное уравнение относительно \( x \). Чтобы решить его, нам необходимо узнать значение \( v \).

Для этого воспользуемся фактом, что друзья прошли 10 км в каждом направлении, и договоримся считать расстояние в одну сторону положительным, а в другую - отрицательным.

Составим уравнение на основе первой части пути:

\[ 10 = t_1 \cdot (x + v) \]

Подставим значение \( t_1 \), которое получили ранее:

\[ 10 = \frac{{10 \, \text{км}}}{{x + v}} \cdot (x + v) \]

Сократим \( x + v \):

\[ 10 = 10 \, \text{км} \]

Уравнение выполняется для любых значений скоростей \( x \) и \( v \), что говорит о том, что у нас есть бесконечное множество решений.

Таким образом, скорость течения реки в данной задаче может быть любой (отрицательной или положительной), так как мы не ограничены условием задачи.