Какова скорость катера, если он отправился из пункта A в пункт B, который находится на расстоянии 210 км, и вернулся

Для решения данной задачи нам понадобится представить скорости движения катера и течения реки в виде отдельных переменных.

Обозначим скорость катера как \(v\) км/ч. Также обозначим время, которое катер затратил на одну поездку от пункта A в пункт B, как \(t\) часов. Из условия задачи мы знаем, что катер вернулся в пункт отправления на 4 часа быстрее, поэтому время возвращения будет составлять \(t - 4\) часов.

Расстояние между пунктом A и пунктом B составляет 210 км, поэтому расстояние в одну сторону будет равно половине этого значения, то есть 105 км.

Теперь мы можем записать уравнение, связывающее скорость, время и расстояние:

\[105 = (v + 3) \cdot t\]

И

\[105 = (v - 3) \cdot (t - 4)\]

Решим эти уравнения для определения скорости катера.

Первое уравнение можно переписать в виде \(t = \frac{{105}}{{v + 3}}\).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[105 = (v - 3) \cdot \left(\frac{{105}}{{v + 3}} - 4\right)\]

Раскроем скобки:

\[105 = (v - 3) \cdot \left(\frac{{105 - 4(v + 3)}}{{v + 3}}\right)\]

Упростим:

\[105 = (v - 3) \cdot \left(\frac{{105 - 4v - 12}}{{v + 3}}\right)\]

\[105 = (v - 3) \cdot \left(\frac{{93 - 4v}}{{v + 3}}\right)\]

Перемножим обе части уравнения на \(v + 3\) и сократим дроби:

\[105(v + 3) = (93 - 4v)(v - 3)\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[105v + 315 = 93v - 279 - 4v^2 + 12v\]

\[105v + 315 = 105v - 279 - 4v^2\]

Перенесем все слагаемые влево:

\[0 = -4v^2 + 12v - 594\]

Это квадратное уравнение не может быть решено путем факторизации, поэтому воспользуемся формулой для нахождения корней:

\[v = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Где:

\[a = -4, b = 12, c = -594\]

Вычислим значения корней:

\[v = \frac{{-12 \pm \sqrt{{12^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-594)}}}}{{2 \cdot (-4)}}\]

\[v = \frac{{-12 \pm \sqrt{{144 - 9504}}}}{{-8}}\]

\[v = \frac{{-12 \pm \sqrt{{-9360}}}}{{-8}}\]

Корень под знаком радикала отрицательный, что означает отсутствие вещественных решений для уравнения. Однако, у нас есть условие, что скорость должна быть положительной, поэтому физический смысл данной задачи дает отрицательный ответ. Сделаем вывод, что невозможно найти скорость катера с заданными условиями.

Таким образом, ответ на задачу "Какова скорость катера, если он отправился из пункта A в пункт B, который находится на расстоянии 210 км, и вернулся обратно в пункт отправления на 4 часа быстрее? Скорость течения реки составляет 3 км/ч" - невозможно определить скорость катера с данными условиями.