Какова поверхностная плотность заряда на бесконечно равномерно заряженной вертикальной плоскости, если на нити подвешен

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать простое равновесие сил. Поверхностная плотность заряда \( \sigma \) может быть вычислена, исходя из равенства силы тяжести и силы электростатического притяжения.

Сначала найдем силу тяжести, действующую на шарик массой 50 мг (или 0,050 г). Сила тяжести \( F_g \) может быть вычислена с помощью формулы:

\[ F_g = mg \]

где \( m \) - масса шарика, \( g \) - ускорение свободного падения (примерное значение составляет 9,8 м/с\(^2\)).

Подставляем значения в формулу:

\[ F_g = 0,050 \, \text{г} \times 9,8 \, \text{м/с}^2 \]

\[ F_g = 0,49 \, \text{Н} \]

Теперь рассмотрим силу электростатического притяжения между шариком и вертикальной плоскостью. Обозначим заряд шарика как \( q \). Сила электростатического притяжения \( F_e \) может быть вычислена с помощью формулы:

\[ F_e = \frac{k \cdot |q|^2}{r^2} \]

где \( k \) - постоянная Кулона (\( 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( q \) - заряд шарика, \( r \) - расстояние между шариком и вертикальной плоскостью (предполагаем, что оно очень мало и можно пренебречь им в данной задаче).

Подставляем значения в формулу:

\[ F_e = \frac{(9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \times (0,6 \times 10^{-9} \, \text{Кл})^2}{r^2} \]

\[ F_e = \frac{(9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \times (0,36 \times 10^{-18} \, \text{Кл}^2)}{r^2} \]

\[ F_e = 3,24 \times 10^{-9} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot \frac{1}{r^2} \]

Так как нить находится в равновесии, то сила тяжести равна силе электростатического притяжения:

\[ F_g = F_e \]

Подставляем значения:

\[ 0,49 \, \text{Н} = 3,24 \times 10^{-9} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot \frac{1}{r^2} \]

Чтобы найти расстояние \( r \), нужно переставить переменные и решить уравнение:

\[ r = \sqrt{\frac{3,24 \times 10^{-9} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2}{0,49 \, \text{Н}}} \]

Расчет даст следующий результат:

\[ r \approx 0,611 \, \text{м} \]

Теперь мы можем найти поверхностную плотность заряда \( \sigma \) на вертикальной плоскости. Поверхностная плотность заряда определяется как соотношение заряда к площади:

\[ \sigma = \frac{q}{A} \]

где \( q \) - заряд шарика, \( A \) - площадь вертикальной плоскости.

Подставляем значения:

\[ \sigma = \frac{0,6 \times 10^{-9} \, \text{Кл}}{A} \]

Но мы не знаем площадь вертикальной плоскости, поэтому решим эту задачу с учетом предположения, что расстояние от каждой точки шарика до вертикальной плоскости - довольно мало и можно принять его равным 0.

Тогда площадь вертикальной плоскости равна площади поверхности шарика. Площадь поверхности шарика \( A_{\text{шарика}} \) может быть найдена с помощью формулы:

\[ A_{\text{шарика}} = 4 \pi r^2 \]

Подставляем значение:

\[ A_{\text{шарика}} \approx 4 \pi (0,611 \, \text{м})^2 \]

Расчет даст следующий результат:

\[ A_{\text{шарика}} \approx 4,682 \, \text{м}^2 \]

Теперь, подставляя найденное значение площади вертикальной плоскости в формулу, найдем поверхностную плотность заряда \( \sigma \):

\[ \sigma = \frac{0,6 \times 10^{-9} \, \text{Кл}}{4,682 \, \text{м}^2} \]

Расчет даст следующий результат:

\[ \sigma \approx 1,28 \times 10^{-10} \, \text{Кл/м}^2 \]

Таким образом, поверхностная плотность заряда на бесконечно равномерно заряженной вертикальной плоскости составляет \(\approx 1,28 \times 10^{-10} \, \text{Кл/м}^2\).