Какова площадь второго треугольника, если у него сходственные стороны равны 8 см и 32 см, а площадь первого

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о соотношении площадей подобных фигур. Площадь подобных фигур пропорциональна квадрату коэффициента подобия, который в свою очередь определяется соотношением длин соответствующих сторон.

У нас есть два треугольника. Давайте обозначим стороны второго треугольника как \(a\) и \(b\), где \(a = 8\) см и \(b = 32\) см. Также, у нас есть площадь первого треугольника \(64\) см².

Для начала, давайте найдем коэффициент подобия между этими двумя треугольниками. Коэффициент подобия определяется как отношение длин соответствующих сторон. В нашем случае, это будет:

\[
k = \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1}
\]

где \(a_1\) и \(b_1\) - стороны первого треугольника. Подставляя известные значения, мы получаем:

\[
k = \frac{8}{a_1} = \frac{32}{b_1}
\]

Затем, мы можем найти стороны первого треугольника, используя этот коэффициент подобия. Так как в первом треугольнике площадь равна \(64\) см², мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[
S_1 = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot h_1
\]

где \(h_1\) - высота первого треугольника. Используя данную формулу, мы можем выразить высоту:

\[
h_1 = \frac{2 \cdot S_1}{a_1}
\]

Подставляя значения площади и стороны, у нас получается:

\[
h_1 = \frac{2 \cdot 64}{a_1}
\]

Теперь у нас есть высота первого треугольника. Далее, мы можем найти стороны второго треугольника, умножив соответствующую сторону первого треугольника на коэффициент подобия \(k\). То есть:

\[
a = k \cdot a_1
\]
\[
b = k \cdot b_1
\]

Подставив известные значения, получим:

\[
a = k \cdot a_1 = \frac{8}{a_1} \cdot a_1 = 8 \quad \text{см}
\]
\[
b = k \cdot b_1 = \frac{32}{b_1} \cdot b_1 = 32 \quad \text{см}
\]

Теперь у нас есть стороны второго треугольника. Чтобы найти площадь второго треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]

где \(h\) - высота второго треугольника. Подставляя значения сторон и подсчитанную высоту первого треугольника, получаем:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \left(\frac{2 \cdot 64}{a_1}\right) = \frac{8 \cdot 2 \cdot 64}{2 \cdot a_1} = \frac{8 \cdot 64}{a_1} = \frac{512}{a_1} \quad \text{см²}
\]

Таким образом, площадь второго треугольника равна \(\frac{512}{a_1}\) см². Записывая ответ словами, площадь второго треугольника равна \(\frac{512}{a_1}\) см².