Какова площадь второго треугольника, если у него сходственные стороны равны 8 см и 32 см, а площадь первого

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о соотношении площадей подобных фигур. Площадь подобных фигур пропорциональна квадрату коэффициента подобия, который в свою очередь определяется соотношением длин соответствующих сторон.

У нас есть два треугольника. Давайте обозначим стороны второго треугольника как $a$ и $b$, где $a=8$ см и $b=32$ см. Также, у нас есть площадь первого треугольника $64$ см².

Для начала, давайте найдем коэффициент подобия между этими двумя треугольниками. Коэффициент подобия определяется как отношение длин соответствующих сторон. В нашем случае, это будет:

$$k=\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}$$

где $a_1$ и $b_1$ - стороны первого треугольника. Подставляя известные значения, мы получаем:

$$k=\frac{8}{a_1}=\frac{32}{b_1}$$

Затем, мы можем найти стороны первого треугольника, используя этот коэффициент подобия. Так как в первом треугольнике площадь равна $64$ см², мы можем использовать формулу для площади треугольника:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot a_1\cdot h_1$$

где $h_1$ - высота первого треугольника. Используя данную формулу, мы можем выразить высоту:

$$h_1=\frac{2\cdot S_1}{a_1}$$

Подставляя значения площади и стороны, у нас получается:

$$h_1=\frac{2\cdot 64}{a_1}$$

Теперь у нас есть высота первого треугольника. Далее, мы можем найти стороны второго треугольника, умножив соответствующую сторону первого треугольника на коэффициент подобия $k$. То есть:

$$a=k\cdot a_1$$
$$b=k\cdot b_1$$

Подставив известные значения, получим:

$$a=k\cdot a_1=\frac{8}{a_1}\cdot a_1=8\text{см}$$
$$b=k\cdot b_1=\frac{32}{b_1}\cdot b_1=32\text{см}$$

Теперь у нас есть стороны второго треугольника. Чтобы найти площадь второго треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$

где $h$ - высота второго треугольника. Подставляя значения сторон и подсчитанную высоту первого треугольника, получаем:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \left(\frac{2\cdot 64}{a_1}\right)=\frac{8\cdot 2\cdot 64}{2\cdot a_1}=\frac{8\cdot 64}{a_1}=\frac{512}{a_1}\text{см²}$$

Таким образом, площадь второго треугольника равна $\frac{512}{a_1}$ см². Записывая ответ словами, площадь второго треугольника равна $\frac{512}{a_1}$ см².