Какова площадь треугольника с углами О(0;2;0), А(2; 0;4), и В(4;4;2)?

Чтобы вычислить площадь треугольника, заданного координатами его вершин, мы можем использовать формулу Герона. Однако, для начала мы должны вычислить длины сторон треугольника.

Сначала найдем длину стороны ОА. Используем формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[ d_{OA} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Подставляя значения координат О(0, 2, 0) и А(2, 0, 4) в формулу, получаем:
\[ d_{OA} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Затем, найдем длину стороны ОВ:
\[ d_{OB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Подставим значения координат О(0, 2, 0) и В(4, 4, 2) в формулу:
\[ d_{OB} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Наконец, найдем длину стороны АВ:
\[ d_{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Подставим значения координат А(2, 0, 4) и В(4, 4, 2) в формулу:
\[ d_{AB} = \sqrt{(4 - 2)^2 + (4 - 0)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон треугольника, мы можем использовать формулу Герона для рассчета площади.
Формула Герона: \( S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \), где \( p \) - полупериметр, \( a, b, c \) - длины сторон треугольника.

Полупериметр вычисляется по формуле \( p = \frac{a + b + c}{2} \).

Последовательно подставим значения сторон треугольника в формулу Герона:
\[ p = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6}}{2} = \frac{6\sqrt{6}}{2} = 3\sqrt{6} \]

\[ S = \sqrt{3\sqrt{6}(3\sqrt{6} - 2\sqrt{6})(3\sqrt{6} - 2\sqrt{6})(3\sqrt{6} - 2\sqrt{6})} \]

Упрощая выражение:
\[ S = \sqrt{3\sqrt{6}(3\sqrt{6} - 2\sqrt{6})^2} \]
\[ S = \sqrt{3\sqrt{6}(3\sqrt{6} - 2\sqrt{6})(3\sqrt{6} - 2\sqrt{6})} \]
\[ S = \sqrt{3\sqrt{6}(9\sqrt{6} - 12\sqrt{6} + 4\cdot6)} \]
\[ S = \sqrt{3\sqrt{6}(9\sqrt{6} - 12\sqrt{6} + 24)} \]
\[ S = \sqrt{3\sqrt{6}(9\sqrt{6} + 12)} \]
\[ S = \sqrt{3\cdot6\cdot(9\sqrt{6} + 12)} \]
\[ S = \sqrt{18(9\sqrt{6} + 12)} \]
\[ S = \sqrt{162\sqrt{6} + 216} \]

Итак, площадь треугольника с вершинами О(0;2;0), А(2;0;4) и В(4;4;2) равна \( \sqrt{162\sqrt{6} + 216} \) квадратных единиц.