Какие отрезки образуются при разбиении гипотенузы биссектрисой в прямоугольном

Question

Геометрия: Какие отрезки образуются при разбиении гипотенузы биссектрисой в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов и гипотенузой длиной

Веселый_Клоун · Accepted Answer

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник с углом 30 градусов и гипотенузой неизвестной длины. Обозначим гипотенузу через

c

и стороны треугольника через

a

и

b

. Так как треугольник прямоугольный, применяя теорему Пифагора, мы можем записать следующее:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Поскольку гипотенуза разбивается биссектрисой, давайте обозначим отрезки, образовавшиеся при разбиении, через

x

и

y

. Теперь у нас есть два уравнения:

a = x + y

b = a

Мы знаем, что угол между гипотенузой и биссектрисой равен 30 градусов, что означает, что отрезки

x

и

y

равны по длине:

x = y

Таким образом, мы можем записать:

a = x + x

b = a

На основе этих соотношений мы можем решить систему уравнений. Подставим значение

x

в уравнение для

a

:

a = 2 x

Теперь подставим значение

a

в уравнение для

b

:

b = 2 x

Из теоремы Пифагора мы знаем, что:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Подставим значения

a

и

b

:

c^{2} = (2 x)^{2} + (2 x)^{2} = 4 x^{2} + 4 x^{2} = 8 x^{2}

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

c = \sqrt{8 x^{2}} = 2 \sqrt{2 x^{2}} = 2 x \sqrt{2}

Таким образом, гипотенуза треугольника имеет длину:

c = 2 x \sqrt{2}

Длина отрезков

x

и

y

равна:

x = y = \frac{c}{2 \sqrt{2}} = \frac{2 x \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = x

То есть отрезки

x

и

y

равны половине длины гипотенузы и равны между собой.

Таким образом, при разбиении гипотенузы биссектрисой в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов и гипотенузой длиной

c

, образуются два равных отрезка

x

и

y

, длина каждого из которых равна

\frac{c}{2 \sqrt{2}}

.

Какие отрезки образуются при разбиении гипотенузы биссектрисой в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов

Веселый_Клоун

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!