Сколько существует различных прямых при данном условии, если провести прямые через каждые две из пяти точек

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим каждую из вариантов расположения точек и определим количество различных прямых, проходящих через любые две точки.

а) Вариант расположения точек: 1, 5, 6, 7, 10.

Прямые можно провести через две любые точки из данных пяти. Всего возможно выбрать 2 точки из 5 по формуле сочетаний:

\[C(5, 2) = \frac{{5!}}{{2!(5 - 2)!}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10.\]

Таким образом, при данном варианте расположения точек имеется 10 различных прямых.

б) Вариант расположения точек: 1, 4, 5, 6, 8, 10.

Аналогично, выбираем 2 точки из 6:

\[C(6, 2) = \frac{{6!}}{{2!(6 - 2)!}} = \frac{{6!}}{{2! \cdot 4!}} = \frac{{6 \cdot 5}}{{2 \cdot 1}} = 15.\]

Таким образом, при данном варианте расположения точек имеется 15 различных прямых.

в) Вариант расположения точек: 1, 5, 6, 8, 10.

Выбираем 2 точки из 5:

\[C(5, 2) = \frac{{5!}}{{2!(5 - 2)!}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10.\]

Таким образом, при данном варианте расположения точек имеется 10 различных прямых.

г) Вариант расположения точек: 1, 5.

Выбираем 2 точки из 2:

\[C(2, 2) = \frac{{2!}}{{2!(2 - 2)!}} = \frac{{2!}}{{2! \cdot 0!}} = \frac{{2}}{{2}} = 1.\]

Таким образом, при данном варианте расположения точек имеется 1 прямая.

Итак, посчитав количество прямых для каждого варианта расположения точек, мы получили следующие результаты:

а) 10 прямых
б) 15 прямых
в) 10 прямых
г) 1 прямая

Таким образом, ответ к данной задаче будет вариант (б) - 15 прямых.