Какова площадь сферы и объем шара, если через точку на сфере проведено сечение радиусом 3 см под углом 60 градусов

Шаг 1: Понимание задачи
В данной задаче мы имеем сферу, на которой проведено сечение радиусом 3 см под углом 60 градусов к радиусу, проведенному в этой точке. Нам нужно найти площадь сферы и объем шара.

Шаг 2: Поиск решения
Мы можем решить эту задачу, используя формулы для площади сферы и объема шара.
Формула для площади сферы: \(S = 4\pi r^2\), где \(S\) - площадь сферы, а \(r\) - радиус сферы.
Формула для объема шара: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), где \(V\) - объем шара, а \(r\) - радиус шара.

Шаг 3: Расчет площади сферы
В нашей задаче радиус сферы неизвестен, но у нас есть радиус сечения - 3 см. По условию сечение проведено под углом 60 градусов к радиусу в точке. Таким образом, у нас есть равнобедренный треугольник, в котором известна одна сторона (3 см) и угол (60 градусов).

Для нахождения радиуса сферы, мы можем использовать тригонометрические соотношения для равнобедренного треугольника.
Тангенс угла в равнобедренном треугольнике можно найти по формуле: \(\tan(\angle A) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}\).
В нашем случае у нас известен угол и прилежащий катет, поэтому мы можем найти противолежащий катет (радиус сферы).
\(\tan(60^\circ) = \frac{r}{3}\).
Решая это уравнение относительно \(r\), мы найдем радиус сферы.

Шаг 4: Расчет объема шара
После нахождения радиуса сферы мы можем использовать формулу для объема шара \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), подставив найденное значение радиуса.

Шаг 5: Расчет ответа
По полученным формулам и значениям, мы можем рассчитать площадь сферы и объем шара.

Давайте приступим к расчетам.

Шаг 3 (продолжение): Расчет радиуса сферы
Используем тригонометрическое соотношение \(\tan(60^\circ) = \frac{r}{3}\) и решим его:
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{r}{3}\).
Умножим обе стороны на 3:
\(\sqrt{3} = r\).
Таким образом, радиус сферы равен \(\sqrt{3}\) см.

Шаг 4 (продолжение): Расчет объема шара
Подставим радиус \(\sqrt{3}\) см в формулу для объема шара \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\):
\(V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3\).
Выполним возведение в степень и умножение:
\(V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3\sqrt{3}\).
Упростим выражение:
\(V = 4\pi \sqrt{3}\).

Шаг 5 (продолжение): Окончательный ответ
Таким образом, площадь сферы равна \(4\pi (\sqrt{3})^2\) и объем шара равен \(4\pi \sqrt{3}\).

Окончательный ответ:
Площадь сферы: \(4\pi (\sqrt{3})^2\) квадратных сантиметров.
Объем шара: \(4\pi \sqrt{3}\) кубических сантиметров.