Какова длина хорды, если угол ∡ABC составляет 30° и радиус окружности равен

Давайте решим вашу задачу. У вас есть окружность с радиусом \( r \) и углом \( \angle ABC = 30^\circ \). Нам нужно найти длину хорды \( AB \) окружности.

По определению, хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Давайте назвем центр окружности точкой \( O \). Тогда, чтобы найти длину хорды, нам необходимо знать расстояние от центра \( O \) до хорды \( AB \).

Для решения этой задачи, давайте построим радиус \( OA \) и проведем перпендикуляр \( OD \) к хорде \( AB \).

Так как \( \angle ABC = 30^\circ \), то по свойству центрального угла \( \angle BOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \). Заметим, что треугольник \( AOB \) является равносторонним, так как все его стороны имеют одинаковую длину \( r \) (так как это радиус окружности).

Теперь мы можем использовать свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы являются взаимозаменяемыми. Таким образом, перпендикуляр \( OD \) к хорде \( AB \) также будет являться медианой и биссектрисой треугольника \( AOB \).

Тогда, в треугольнике \( AOB \), мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник \( AOD \). В этом треугольнике, у нас есть угол \( \angle AOD = 90^\circ \), а также равные стороны \( AO = OB = r \). Используя свойства прямоугольного треугольника, мы можем найти длину \( OD \). В данном случае, это будет половина длины хорды \( AB \).

Используем тригонометрию. Из прямоугольного треугольника \( AOD \) мы можем применить функцию синуса:

\[ \sin(\angle AOD) = \frac{OD}{AO} \]

или

\[ \sin(90^\circ) = \frac{OD}{r} \]

Так как синус \( 90^\circ \) - это единица, уравнение упрощается до:

\[ OD = r \]

Теперь мы знаем, что длина отрезка \( OD \) составляет \( r \). Так как хорда \( AB \) проходит через точку \( O \) (центр окружности) и перпендикулярна \( OD \), то длина хорды \( AB \) будет равна \( 2 \cdot OD \). Таким образом, длина хорды \( AB \) равна \( 2 \cdot r \).

Вот и ответ: длина хорды \( AB \) равна \( 2 \cdot r \).