Какова площадь сферы, если плоскость, проходящая через конец радиуса сферы, составляет угол 30 градусов к радиусу

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать некоторые геометрические свойства сферы.

Итак, у нас есть сфера с центром \( O \) и радиусом \( R \). Плоскость, проходящая через конец радиуса сферы, обозначена как \( XYZ \), где \( XY \) - прямая, являющаяся продолжением радиуса, а \( Z \) - точка на этой прямой. Угол \( XOZ \), обозначенный как \( \angle XOZ \), равен 30 градусам. Расстояние от центра сферы до плоскости \( XYZ \) равно 8 см.

Мы должны найти площадь этой сферы.

Для начала обратим внимание на прямоугольный треугольник \( XOZ \).

Так как \( \angle XOZ \) равен 30 градусам, то \( \angle XOT \) (где \( T \) - точка пересечения плоскости \( XYZ \) и сферы) будет равен \( 90 - 30 = 60 \) градусам.

Теперь мы можем применить свойство прямоугольного треугольника, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае синус \( \angle XOT \) будет равен отношению стороны, противолежащей углу \( \angle XOT \) (радиус сферы) к гипотенузе (расстояние от центра сферы до плоскости \( XYZ \)), то есть:

\[ \sin(60) = \frac{R}{8} \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно радиуса сферы.

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R}{8} \]

Перемножим обе стороны уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби:

\[ R = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \]

Таким образом, радиус сферы равен \( 4\sqrt{3} \) см.

Теперь мы можем вычислить площадь сферы, используя формулу для площади поверхности сферы:

\[ S = 4\pi R^2 \]

Подставляя значение радиуса \( R = 4\sqrt{3} \) см в эту формулу, получаем:

\[ S = 4\pi \cdot (4\sqrt{3})^2 = 4\pi \cdot 16 \cdot 3 = 192\pi \]

Таким образом, площадь сферы составляет \( 192\pi \) квадратных сантиметра.

Данный ответ достаточно подробен и позволяет школьнику понять каждый шаг решения задачи.