Какова площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 1 см и 7 см, а диагональ делит ее тупой угол пополам?

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу для площади трапеции, которая выглядит следующим образом:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где \(S\) - площадь трапеции, \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота трапеции.

В нашем случае, первое основание равно 1 см, второе основание равно 7 см. Мы должны найти высоту трапеции.

Заметим, что диагональ делит трапецию на два равных по площади треугольника, а также образует прямой угол вместе с одним из оснований. Из этого следует, что треугольник, образованный прямым углом и одним из оснований, является прямоугольным.

Можем использовать теорему Пифагора для вычисления высоты трапеции, так как у нас есть прямой угол и две стороны треугольника, образующегося диагональю.

Пусть \(h\) - высота трапеции. Тогда мы можем записать следующее уравнение:

\[h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \left(\frac{b+a}{2}\right)^2\]

В нашем случае, \(a = 1\) см, \(b = 7\) см. Подставим эти значения в уравнение и решим его:

\[h^2 + \left(\frac{7-1}{2}\right)^2 = \left(\frac{7+1}{2}\right)^2\]

\[h^2 + 3^2 = 4^2\]

\[h^2 + 9 = 16\]

\[h^2 = 7\]

\[h = \sqrt{7}\]

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции, подставив найденное значение высоты в формулу для площади:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(1 + 7) \cdot \sqrt{7}}{2} = \frac{8 \cdot \sqrt{7}}{2} = 4 \cdot \sqrt{7}\]

Таким образом, площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 1 см и 7 см, а диагональ делит ее тупой угол пополам, равна \(4 \cdot \sqrt{7}\) квадратных сантиметров.