На каком расстоянии от сферы находится светящаяся точка, если радиус сферы равен 86 см? Какую часть поверхности сферы

Для решения этой задачи нам потребуется представление о геометрии сферы.

Дано: радиус сферы \(R = 86\) см.

Задача 1: На каком расстоянии от сферы находится светящаяся точка?

Поскольку нам нужно найти расстояние от сферы до точки, то воспользуемся теоремой Пифагора. Расстояние от центра сферы до точки на ее поверхности будет равно радиусу сферы, а расстояние от данной точки до светящейся точки будет дополнительной стороной в прямоугольном треугольнике.

Обозначим расстояние между сферой и светящейся точкой как \(d\). Тогда с использованием теоремы Пифагора получим следующее уравнение:

\[d^2 + R^2 = (R + r)^2\]

Здесь \(r\) обозначает радиус светящейся точки.

Раскрывая скобки, получим:

\[d^2 + R^2 = R^2 + 2Rr + r^2\]

Упрощая выражение, получим:

\[d^2 = 2Rr + r^2\]

Теперь можем решить это уравнение относительно \(d\):

\[d = \sqrt{2Rr + r^2}\]

Подставляя значения \(R = 86\) см и \(r\) (радиус светящейся точки, которой не дан), можно найти конкретное значение расстояния \(d\).

Задача 2: Какую часть поверхности сферы освещает светящаяся точка?

Чтобы найти относительную площадь поверхности сферы, освещенную светящейся точкой, нужно найти отношение площади поверхности данного сегмента к площади всей поверхности сферы.

Площадь поверхности сферы \(S\) равна \(4\pi R^2\), где \(R\) - радиус сферы.

Площадь сегмента сферы (поверхности, освещенной светящейся точкой) можно выразить следующей формулой:

\[S_{\text{сегмента}} = 2\pi R \cdot h\]

где \(h\) - высота сегмента.

Отношение площади освещенного сегмента к площади всей поверхности сферы будет равно:

\[\frac{S_{\text{сегмента}}}{S_{\text{сферы}}} = \frac{2\pi R \cdot h}{4\pi R^2}\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[\frac{S_{\text{сегмента}}}{S_{\text{сферы}}} = \frac{h}{2R}\]

Таким образом, часть поверхности сферы, освещаемая светящейся точкой, зависит от высоты сегмента \(h\) и радиуса сферы \(R\).

Ответ: Расстояние от светящейся точки до сферы равно \(d = \sqrt{2Rr + r^2}\), где \(R = 86\) см - радиус сферы. Часть поверхности сферы, которую освещает светящаяся точка, зависит от высоты сегмента \(h\) и радиуса сферы \(R\) и выражается соотношением \(\frac{S_{\text{сегмента}}}{S_{\text{сферы}}} = \frac{h}{2R}\).