Какова площадь прямоугольника, если его периметр равен 50 и диагональ равна

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\), где \(a\) – длина, а \(b\) – ширина. Мы знаем, что периметр прямоугольника равен 50, поэтому у нас есть следующее уравнение:

\[2a + 2b = 50\]

Также нам дано, что диагональ прямоугольника равна \(d\). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти связь между \(a\), \(b\) и \(d\). В прямоугольнике диагональ, длины \(d\), является гипотенузой прямоугольного треугольника, а стороны \(a\) и \(b\) – катетами. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[a^2 + b^2 = d^2\]

Мы хотим найти площадь прямоугольника, которая вычисляется как произведение длины и ширины: \(S = a \times b\). Наша задача – найти значения \(a\) и \(b\) и затем вычислить площадь прямоугольника.

Получим систему уравнений:

\[\begin{cases} 2a + 2b = 50 \\ a^2 + b^2 = d^2 \end{cases}\]

Давайте решим эту систему пошагово для нахождения значений \(a\) и \(b\).

Шаг 1: Решение первого уравнения относительно \(a\):
\[2a = 50 - 2b\]
\[a = 25 - b\]

Шаг 2: Подставим значение \(a\) во второе уравнение:
\[(25 - b)^2 + b^2 = d^2\]
\[625 - 50b + b^2 + b^2 = d^2\]
\[2b^2 - 50b + 625 = d^2\]

Шаг 3: Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(b\). Решим его, приравняв его к 0:
\[2b^2 - 50b + 625 - d^2 = 0\]

Это квадратное уравнение может быть решено с помощью формулы дискриминанта. Обозначим дискриминант как \(D\):

\[D = (-50)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (625 - d^2) = 2500 - 8(625 - d^2)\]

Затем решим уравнение \(D = 0\) относительно \(d\), чтобы найти значение диагонали \(d\):

\[2500 - 8(625 - d^2) = 0\]
\[8(625 - d^2) = 2500\]
\[625 - d^2 = \frac{2500}{8}\]
\[625 - d^2 = \frac{625}{2}\]
\[d^2 = 625 - \frac{625}{2}\]
\[d^2 = \frac{625}{2}\]
\[d = \sqrt{\frac{625}{2}}\]

Теперь, когда мы знаем значение диагонали \(d\), мы можем подставить его обратно в квадратное уравнение:

\[2b^2 - 50b + 625 - \left(\sqrt{\frac{625}{2}}\right)^2 = 0\]
\[2b^2 - 50b + 625 - \frac{625}{2} = 0\]
\[2b^2 - 50b + 625 - \frac{3125}{2} = 0\]
\[2b^2 - 50b - \frac{125}{2} = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение для нахождения значения \(b\). Используем квадратное уравнение снова:

\[b = \frac{-(-50) \pm \sqrt{(-50)^2 - 4(2)\left(-\frac{125}{2}\right)}}{2(2)}\]
\[b = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 500}}{4}\]
\[b = \frac{50 \pm \sqrt{3000}}{4}\]

Значение под корнем является сложным числом. Однако, нам известно, что прямоугольник имеет положительные стороны \(a\) и \(b\), поэтому мы можем отбросить отрицательные значения \(b\).

Таким образом, получаем два возможных значения \(b\):
\[b_1 = \frac{50 + \sqrt{3000}}{4}\]
\[b_2 = \frac{50 - \sqrt{3000}}{4}\]

Для каждого значения \(b\) мы можем вычислить соответствующее значение \(a\) с помощью первого уравнения:
\[a_1 = 25 - b_1\]
\[a_2 = 25 - b_2\]

Теперь у нас есть две пары значений \(a\) и \(b\), и для каждой пары мы можем вычислить площадь прямоугольника \(S = a \cdot b\):

\[S_1 = a_1 \cdot b_1\]
\[S_2 = a_2 \cdot b_2\]

Таким образом, мы получили две возможные площади прямоугольника, учитывая заданный периметр и диагональ.