1) Найти угол между двумя прямыми, которые пересекаются в точке (−2; −1), если первая прямая проходит через точку

Задача 1:
Для нахождения угла между двумя прямыми мы можем использовать свойство скалярного произведения векторов.

Первая прямая проходит через точку (3, 3), поэтому у неё можно взять направляющий вектор таким образом: \(\vec{a} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) = (3 - (-2), 3 - (-1)) = (5, 4)\), где \((x_0, y_0)\) - точка на первой прямой (−2, −1), а \((x_1, y_1)\) - точка, через которую она проходит (3, 3).

Аналогично, для второй прямой, проходящей через точку (3, -2), направляющий вектор будет: \(\vec{b} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2) = (3 - (-2), -2 - (-1)) = (5, -1)\), где \((x_2, y_2)\) - точка на второй прямой (−2, −1), а \((x_3, y_3)\) - точка, через которую она проходит (3, -2).

Скалярное произведение двух векторов определяется формулой: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами, \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно.

Раскрывая формулу, получаем: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \), где \(a_x\) и \(b_x\) - координаты векторов по x, а \(a_y\) и \(b_y\) - соответственно, по y.

Подставляя значения координат в нашей задаче, получаем: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) = 25 - 4 = 21\).

Теперь мы можем найти косинус угла \(\theta\) с помощью формулы: \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).

Длина вектора \(\vec{a}\) (или \(|\vec{a}|\)) вычисляется по формуле: \(|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\), и аналогично для вектора \(\vec{b}\).

Вычисляя значения, получаем: \(|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\) и \(|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\).

Подставляя значения в формулу для косинуса угла, получаем: \(\cos(\theta) = \frac{21}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{26}}\).

Теперь арккосинус от \(\cos(\theta)\) даст нам значение угла \(\theta\). Получаем: \(\theta = \arccos\left(\frac{21}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{26}}\right)\).

Вычисляя значение арккосинуса через калькулятор, получаем приближенный ответ: \(\theta \approx 20.8\) градусов.

Таким образом, угол между первой и второй прямой, проходящих через указанные точки, составляет около 20.8 градусов.

Задача 2:
Для нахождения угла между прямой \(3x + 2y + 4 = 0\) и прямой, проходящей через точки (4, -3) и (-1, 2), мы можем использовать аналогичный метод, описанный выше.

Найдем направляющий вектор для прямой, проходящей через указанные точки: \(\vec{c} = (x_4 - x_5, y_4 - y_5) = (4 - (-1), -3 - 2) = (5, -5)\), где \((x_4, y_4)\) и \((x_5, y_5)\) - координаты точек (4, -3) и (-1, 2) соответственно.

Уравнение \(3x + 2y + 4 = 0\) можно переписать в виде: \(y = -\frac{3}{2}x - 2\).

Из этого уравнения видно, что коэффициенты при \(x\) и \(y\) для вектора направляющего перпендикуляра равны \(-\frac{3}{2}\) и 1 соответственно. Заметим, что \(y\) при \(x = 1\) равно \(-\frac{3}{2}\cdot 1 - 2 = -\frac{7}{2}\), что является точкой, лежащей на перпендикуляре.

Таким образом, направляющий вектор для перпендикуляра равен: \(\vec{d} = (1 - 0, -\frac{7}{2} - 0) = (1, -\frac{7}{2})\).

Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\), а затем найдем угол \(\theta\) с помощью формул, описанных в задаче 1.

Скалярное произведение векторов равно: \(\vec{c} \cdot \vec{d} = c_x \cdot d_x + c_y \cdot d_y\), где \(c_x\), \(d_x\), \(c_y\), \(d_y\) - соответствующие координаты векторов.

Подставляя значения из задачи, получаем: \(\vec{c} \cdot \vec{d} = 5 \cdot 1 + (-5) \cdot (-\frac{7}{2}) = 5 + \frac{35}{2} = \frac{45}{2}\).

Длина вектора \(\vec{c}\) равна: \(|\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}\).

Длина вектора \(\vec{d}\) равна: \(|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2} = \sqrt{1^2 + \left(-\frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{53}{4}}\).

Теперь мы можем вычислить косинус угла \(\theta\) с помощью формулы \(\cos(\theta) = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{c}| \cdot |\vec{d}|}\).

Подставляя значения, получаем: \(\cos(\theta) = \frac{\frac{45}{2}}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{\frac{53}{4}}}\).

Вычисляя значение арккосинуса через калькулятор, получаем приближенный ответ: \(\theta \approx 58.4\) градусов.

Таким образом, угол между прямой \(3x + 2y + 4 = 0\) и прямой, проходящей через точки (4, -3) и (-1, 2), составляет около 58.4 градусов.