Какова площадь прямоугольника, если его диагональ равна 92, угол между диагональю и одной из сторон составляет

Пусть сторона прямоугольника, указанная в задаче, равна \(x\) (выражаем неизвестную сторону через переменную). Тогда другая сторона будет равна \(\frac{x}{2}\) (по свойствам прямоугольника).

Нам известно, что угол между диагональю и одной из сторон составляет 60 градусов. Данная информация позволяет установить связь между сторонами прямоугольника и его диагональю с помощью тригонометрии. Воспользуемся соотношением синуса:

\[\sin(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\]

В данном случае, сторона прямоугольника действует как противолежащий катет, а диагональ - как гипотенуза.

Подставляем значения в выражение:

\[\sin(60^\circ) = \frac{\frac{x}{2}}{92}\]

Раскрываем синус 60 градусов:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{x}{2}}{92}\]

Домножаем обе части уравнения на 92:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} \times 92 = \frac{\frac{x}{2}}{92} \times 92\]

Сокращаем 92 на обеих сторонах:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} \times 92 = \frac{x}{2}\]

Упрощаем левую часть уравнения:

\[46\sqrt{3} = \frac{x}{2}\]

Домножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:

\[46\sqrt{3} \times 2 = x\]

Упрощаем выражение:

\[92\sqrt{3} = x\]

Таким образом, значение неизвестной стороны прямоугольника равно \(92\sqrt{3}\).

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, умножим длину и ширину:

\[S = x \times \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2} = \frac{(92\sqrt{3})^2}{2}\]

Сокращаем выражение:

\[S = \frac{92^2 \times (\sqrt{3})^2}{2}\]

Вычисляем квадрат числа и квадрат корня:

\[S = \frac{8464 \times 3}{2} = 4232\]

Таким образом, площадь прямоугольника равна 4232.

В данном решении мы использовали тригонометрию, чтобы найти одну из сторон прямоугольника, а затем использовали полученное значение, чтобы найти площадь.