Какова длина линии пересечения плоскости и сферы радиусом 6√2 , если один из радиусов, проведенный в точке пересечения

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится некоторое геометрическое представление о взаимодействии плоскости и сферы.

В данном случае у нас имеется плоскость и сфера с радиусом \(6\sqrt{2}\), пересекающиеся между собой. Мы хотим найти длину линии пересечения этих двух фигур.

Итак, давайте начнём с построения ситуации. Известно, что один из радиусов сферы, проведённый в точке пересечения, образует угол 45 градусов с плоскостью. Мы можем нарисовать это следующим образом:

(Вставить изображение)

Пусть \(O\) - центр сферы, \(AB\) - радиус сферы, проведённый в точку пересечения \(C\), \(CD\) - отрезок линии пересечения сферы и плоскости.

Теперь нам нужно проанализировать, как плоскость и сфера пересекаются в данном случае.

Так как радиус проведён из центра сферы к точке пересечения, то \(AB\) - перпендикуляр к плоскости. Также известно, что угол \(ACB\) равен 45 градусов, что означает, что угол \(ACB\) является прямым углом, так как угол половинки перпендикуляра.

Таким образом, мы можем утверждать, что отрезок \(AB\) - высота, опущенная из точки пересечения \(C\) на плоскость.

Чтобы вычислить длину линии пересечения, нам понадобится знать расстояние между точками пересечения на сфере. Это можно найти, используя теорему Пифагора для треугольника \(ABC\):

\[\begin{align*}
AB^2 &= AC^2 + BC^2 \\
(6\sqrt{2})^2 &= AC^2 + BC^2 \\
72 &= AC^2 + BC^2 \\
\end{align*}\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник \(ACD\), где \(AD\) - это длина линии пересечения сферы и плоскости.

Мы знаем, что \(AC\) равно \(6\sqrt{2}\), так как это радиус сферы. Также мы можем заметить, что \(AC\) и \(AD\) - это стороны прямоугольного треугольника, поэтому мы можем применить теорему Пифагора:

\[\begin{align*}
AC^2 &= AD^2 + CD^2 \\
(6\sqrt{2})^2 &= AD^2 + CD^2 \\
72 &= AD^2 + CD^2 \\
\end{align*}\]

Что интересно, для треугольников \(ABC\) и \(ACD\) справедливы одинаковые уравнения, так как их две стороны равны. Это означает, что точка \(D\) - это вторая точка пересечения сферы и плоскости.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника \(ABC\) и \(ACD\) с равными гипотенузами \(AC\) и равными прямыми углами \(ACB\) и \(ACD\). Поэтому они также должны иметь равные катеты \(AD\) и \(BC\).

Теперь, чтобы найти длину линии пересечения \(AD\), нам просто нужно вычесть длину высоты \(AB\) из длины радиуса \(AC\):

\[\begin{align*}
AD &= AC - AB \\
AD &= 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) \\
AD &= 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\
AD &= 6\sqrt{2} - 6 \\
AD &= 6(\sqrt{2} - 1) \\
\end{align*}\]

Таким образом, длина линии пересечения плоскости и сферы составляет \(6(\sqrt{2} - 1)\) единиц длины.