Какова площадь поверхности конуса, образованного вращением равнобедренного треугольника с основанием в 2 см и боковой

Конус, образованный вращением равнобедренного треугольника с основанием в 2 см и боковой стороной в 4 см вокруг его высоты, опущенной на основание, имеет форму, вытянутую вверх с острым вершиной. Чтобы найти площадь поверхности этого конуса, мы должны сложить площадь основания и площадь боковой поверхности.

Для начала, давайте найдем высоту конуса, учитывая заданные размеры треугольника. Высота конуса может быть найдена с использованием теоремы Пифагора. В равнобедренном треугольнике, боковая сторона (4 см) равна гипотенузе, и основание (2 см) - это половина базы равнобедренного треугольника. Обозначим высоту как \(h\).

Мы можем использовать теорему Пифагора следующим образом:

\[(\text{основание})^2 + (\text{половина базы})^2 = (\text{высота})^2\]
\[(2 \, \text{см})^2 + (\frac{2}{2} \, \text{см})^2 = h^2\]
\[4 \, \text{см}^2 + 1 \, \text{см}^2 = h^2\]
\[5 \, \text{см}^2 = h^2\]
\[h = \sqrt{5} \, \text{см}\]

Теперь, когда у нас есть высота конуса, мы можем приступить к нахождению площади.

Площадь основания конуса можно найти с помощью формулы для площади треугольника:

\[\text{Площадь основания} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]
\[\text{Площадь основания} = \frac{1}{2} \times 2 \, \text{см} \times \sqrt{5} \, \text{см}\]
\[\text{Площадь основания} = \sqrt{5} \, \text{см}^2\]

Площадь боковой поверхности конуса можно найти, учитывая, что она представляет собой окружность с радиусом равным длине окружности, которую мы получаем, вращая треугольник вокруг его высоты. Периметр треугольника равен сумме длин двух равных сторон, поэтому длина окружности равна периметру треугольника:

\[\text{Длина окружности} = \text{периметр треугольника}\]
\[\text{Длина окружности} = 2 \times \text{основание} + \text{боковая сторона}\]
\[\text{Длина окружности} = 2 \times 2 \, \text{см} + 4 \, \text{см}\]
\[\text{Длина окружности} = 8 \, \text{см}\]

Теперь мы можем использовать формулу для площади окружности, чтобы найти площадь боковой поверхности конуса:

\[\text{Площадь боковой поверхности} = \pi \times \text{радиус} \times \text{длина окружности}\]
\[\text{Площадь боковой поверхности} = \pi \times \sqrt{5} \, \text{см} \times 8 \, \text{см}\]

Известно, что \(\pi \approx 3.14159\), поэтому:

\[\text{Площадь боковой поверхности} \approx 3.14159 \times \sqrt{5} \, \text{см} \times 8 \, \text{см}\]

Вычисляя это выражение, мы получаем:

\[\text{Площадь боковой поверхности} \approx 25.13274 \, \text{см}^2\]

Теперь нам нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности, чтобы найти площадь поверхности всего конуса:

\[\text{Площадь поверхности конуса} = \text{Площадь основания} + \text{Площадь боковой поверхности}\]
\[\text{Площадь поверхности конуса} \approx \sqrt{5} \, \text{см}^2 + 25.13274 \, \text{см}^2\]
\[\text{Площадь поверхности конуса} \approx \sqrt{5} + 25.13274 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь поверхности конуса, образованного вращением равнобедренного треугольника с основанием в 2 см и боковой стороной в 4 см вокруг его высоты, опущенной на основание, составляет примерно \(\sqrt{5} + 25.13274 \, \text{см}^2\).