Какова площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, которая имеет сторону основания длиной 8

Чтобы рассчитать площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам понадобятся данные о боковых гранях и высоте пирамиды.

В данной задаче известна длина стороны основания пирамиды, которая равна 8 см, а также двугранный угол величиной 45 градусов.

Чтобы найти высоту пирамиды, воспользуемся теоремой косинусов. Пусть основание треугольника, образующего боковую грань пирамиды, равно a, а двугранный угол при этой стороне равен B. Тогда высота h можно найти по формуле:

\[h = a \cdot \sin B\]

В нашем случае, сторона основания равна 8 см, а угол B составляет 45 градусов. Подставим значения в формулу:

\[h = 8 \cdot \sin 45\]

Чтобы рассчитать синус 45 градусов, воспользуемся таблицей значений или калькулятором и получим:

\[h = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\]

Теперь, когда у нас есть значение высоты пирамиды, можем рассчитать площадь полной поверхности.

Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды можно найти суммируя площади ее трех боковых граней и площади основания.

Площадь боковых граней пирамиды можно вычислить по формуле:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр} \cdot h\]

Площадь основания можно найти с помощью формулы для площади треугольника:

\[S_{осн} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\]

Где a - длина стороны основания пирамиды.

Таким образом, полная площадь поверхности пирамиды вычисляется следующим образом:

\[S_{пол} = S_{бок} + S_{осн}\]

Подставим значения в формулу и посчитаем:

Сначала найдем периметр основания треугольной пирамиды. Так как сторона основания равна 8 см, то периметр будет равен 3 умножить на длину стороны:

\[\text{периметр} = 3 \cdot 8 = 24 \, \text{см}\]

Теперь вычислим площадь боковых граней:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4\sqrt{2} = 48\sqrt{2}\]

Вычислим площадь основания:

\[S_{осн} = \frac{8^{2}\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}\]

Найдем площадь полной поверхности:

\[S_{пол} = 48\sqrt{2} + 16\sqrt{3} \approx 157,6 \, \text{см}^{2}\]

Таким образом, полная площадь поверхности данной правильной треугольной пирамиды составляет примерно 157,6 квадратных сантиметра.