Какова площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды с высотой 4 см, если угол наклона в основании

Конечно! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, нам нужно понять, что такое полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды. Полная поверхность включает в себя боковую поверхность и основание пирамиды.

Обозначим высоту пирамиды как \(h\) и угол наклона в основании как \(\alpha\).

Для вычисления площади полной поверхности пирамиды, нам нужно узнать площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды, а затем сложить их.

1. Найдем площадь основания пирамиды. Поскольку у нас правильная четырехугольная пирамида, её основание - это квадрат.

Площадь квадрата можно вычислить, зная длину его стороны. Однако, у нас дан угол наклона в основании. Для нахождения длины стороны квадрата, воспользуемся тригонометрическим соотношением.

В четырехугольной пирамиде, каждая боковая сторона составляет угол \(\alpha\) с плоскостью основания. Поскольку угол наклона в основании составляет 45 градусов, у нас имеется прямой треугольник с углом 45 градусов и смежными катетами равными длине стороны квадрата.

Применяя тригонометрический коэффициент \(\cos(\alpha) = a / h\), где \(a\) - сторона квадрата, а \(h\) - высота пирамиды, мы можем найти длину стороны квадрата следующим образом:

\[a = h \cdot \cos(\alpha)\]

В данном случае, у нас высота пирамиды равна 4 см, а угол наклона - 45 градусов. Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[a = 4 \cdot \cos(45^\circ)\]

Вычислим значение \(\cos(45^\circ)\). Косинус 45 градусов равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Подставим это значение и решим уравнение:

\[a = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\]

Таким образов, длина стороны квадрата равна \(2\sqrt{2}\) см.

Теперь, чтобы найти площадь основания квадрата, возводим длину его стороны в квадрат:

\[S_{\text{осн}} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8\]

Таким образом, площадь основания пирамиды составляет 8 квадратных сантиметров.

2. Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность представляет собой четыре равных треугольника. У каждого угла основания пирамиды равная 45 градусов, и они являются прямыми углами в треугольниках.

Так как мы уже знаем сторону квадрата, мы можем найти длину стороны треугольника через косинус.

Применяя тригонометрический соотношение \(\cos(45^\circ) = b / a\), где \(b\) - длина стороны треугольника, \(a\) - длина стороны квадрата, мы найдем длину стороны треугольника:

\[b = a \cdot \cos(45^\circ) = (2\sqrt{2}) \cdot \cos(45^\circ)\]

Подставив значение косинуса 45 градусов (\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)), у нас будет:

\[b = (2\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\]

Таким образом, длина стороны треугольника составляет 2 сантиметра.

Площадь одного треугольника можно вычислить по формуле площади треугольника через полупериметр:

\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины его сторон.

В нашем случае, так как у нас прямоугольный треугольник с двумя смежными катетами длиной 2 см и гипотенузой равной высоте пирамиды (4 см), мы можем вычислить площадь одного треугольника следующим образом:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) = 2\]

Поскольку у нас есть 4 таких треугольника (так как пирамида равнобочная), общая площадь боковой поверхности будет:

\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} = 4 \cdot 2 = 8\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет 8 квадратных сантиметров.

3. Наконец, чтобы найти полную поверхность пирамиды, мы должны сложить площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 8 + 8 = 16\]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды с высотой 4 см и углом наклона в основании 45 градусов равна 16 квадратных сантиметров.

Я надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять, как найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда рад помочь!