Каково расстояние между вершиной перпендикуляра и вершинами прямоугольника в данном случае, где длины сторон

Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать знания о геометрии прямоугольников и прямых. Давайте начнем с построения диагоналей прямоугольника и перпендикуляра, проведенного через точку пересечения диагоналей.

Для начала, нарисуем прямоугольник. Длина одной из его сторон составляет 3 см, а другой - 4 см. Пусть сторона длиной 3 см будет вертикальной, а сторона длиной 4 см - горизонтальной. Мы можем изобразить прямоугольник следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
\ \ \ \ \ \ \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
| \\
\ \ \ \ \ \ \ \ ——————
\end{array}
\]

Теперь давайте проведем его диагонали. Диагонали прямоугольника соединяют противоположные вершины. Изобразим их синими линиями:

\[
\begin{array}{c}
\ \ \ \ \ \ \\
| \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ —————— \\
| \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ —————— \\
| \\
\ \ \ \ \ \ \ \ ——————
\end{array}
\]

Теперь нам нужно провести перпендикуляр через точку пересечения диагоналей. В этом случае, эта точка будет серединой одной из диагоналей. Проведем перпендикуляр с использованием красной линии:

\[
\begin{array}{c}
\ \ \ \ \ \ \\
| \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ —————— \\
| \\
\ \ \ \ \ \ \ \,( \ \ \ \ \ )\ \ \ \ \ \ —————— \\
| \\
\ \ \ \ \ \ \ \ ——————
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти расстояние между вершиной перпендикуляра и вершинами прямоугольника, мы должны применить теорему Пифагора.

Теорема Пифагора говорит нам, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длины двух катетов.

В нашем случае, прямоугольный треугольник с вершиной перпендикуляра, вершиной прямоугольника и серединой одной из диагоналей является прямоугольным треугольником.

Давайте обозначим расстояние между вершиной перпендикуляра и вершинами прямоугольника как \(x\). Тогда вертикальная сторона прямоугольника (\(3 \, \text{см}\)) будет одним катетом, а горизонтальная сторона (\(4 \, \text{см}\)) будет другим катетом. Гипотенуза же нашего треугольника, то есть перпендикуляр проведенный через точку пересечения диагоналей, имеет длину \(7 \, \text{см}\).

Теперь мы можем составить уравнение, используя теорему Пифагора:

\[3^2 + 4^2 = x^2\]

\[9 + 16 = x^2\]

\[25 = x^2\]

Теперь найдем значение \(x\) путем извлечения квадратного корня:

\[x = \sqrt{25}\]

\[x = 5\]

Таким образом, расстояние между вершиной перпендикуляра и вершинами прямоугольника равно \(5 \, \text{см}\).