Какова площадь полной поверхности описанного цилиндра, если у основания прямой призмы есть прямоугольный треугольник

Сначала рассмотрим основание прямой призмы. У нас есть прямоугольный треугольник с катетами 11 см и 20 см. Для нахождения площади треугольника используем формулу:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot 11 \, \text{см} \cdot 20 \, \text{см} = 110 \, \text{см}^2.\]

Теперь рассмотрим боковую поверхность прямой призмы, которая является квадратом. Длина стороны квадрата равна длине гипотенузы нашего прямоугольного треугольника, которая равна \(\sqrt{11^2 + 20^2} = \sqrt{121 + 400} = \sqrt{521} \approx 22.83\) см.

Так как квадрат имеет четыре равные стороны, площадь его боковой поверхности можно найти по формуле:

\[S_{\text{кв}} = 4 \cdot a^2,\]

где \(a\) - длина стороны квадрата.

Подставляя значение длины стороны квадрата, получаем:

\[S_{\text{кв}} = 4 \cdot (22.83 \, \text{см})^2 \approx 2083.36 \, \text{см}^2.\]

Теперь найдем площадь основания цилиндра, которая равна площади прямоугольного треугольника:

\[S_{\text{осн}} = 110 \, \text{см}^2.\]

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле:

\[S_{\text{бок}} = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot H,\]

где \(R\) - радиус основания цилиндра, а \(H\) - высота цилиндра.

Так как боковая поверхность цилиндра является прямоугольником, высота цилиндра равна длине стороны квадрата, то есть \(\sqrt{521} \approx 22.83\) см, и радиус основания также равен половине стороны квадрата, то есть \(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{521} \approx 11.42\) см.

Теперь подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности цилиндра:

\[S_{\text{бок}} = 2 \cdot \pi \cdot (11.42 \, \text{см}) \cdot (22.83 \, \text{см}) \approx 1647.07 \, \text{см}^2.\]

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нужно сложить площадь двух оснований и площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{полн}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 110 \, \text{см}^2 + 1647.07 \, \text{см}^2 = 1867.07 \, \text{см}^2.\]

Таким образом, площадь полной поверхности описанного цилиндра равна примерно 1867.07 \(\text{см}^2\).