Каков объем вписанной правильной шестиугольной призмы, если площадь боковой поверхности цилиндра равна 16π√3

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Понимание задачи
Первым шагом является понимание условия задачи. У нас есть цилиндр с боковой поверхностью и вписанная правильная шестиугольная призма. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(16\pi\sqrt{3}\), а расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы составляет \(2\sqrt{3}\). Нам нужно найти объем вписанной шестиугольной призмы.

Шаг 2: Рассмотрение свойств цилиндра и призмы
На данном этапе, давайте вспомним свойства цилиндра и шестиугольной призмы. Объем цилиндра определяется по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра. Объем правильной шестиугольной призмы можно найти по формуле \(V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2h\), где \(a\) - длина стороны основания призмы, а \(h\) - высота призмы. Нам необходимо найти \(V\), поэтому нам нужно найти значения \(r\) и \(a\) перед этим.

Шаг 3: Нахождение радиуса основания цилиндра
Мы знаем, что площадь боковой поверхности цилиндра равна \(16\pi\sqrt{3}\). Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле \(S_{\text{бок}} = 2\pi r h\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра. Подставим данное значение и получим уравнение:
\[16\pi\sqrt{3} = 2\pi r h\]

Так как у нас нет информации о высоте цилиндра, то возьмем эту величину за неизвестную и обозначим ее \(H\). Таким образом, у нашего уравнения будет вид:
\[16\pi\sqrt{3} = 2\pi r H\]

Мы знаем, что расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы составляет \(2\sqrt{3}\). Так как у нас шестиугольная призма, то диагональ боковой грани равна \(2a\), где \(a\) - длина стороны основания призмы. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы можно найти по формуле:
\[\text{Расстояние} = \sqrt{(\text{Радиус цилиндра})^2 + (\text{Диагональ призмы})^2} = \sqrt{r^2 + (2a)^2}\]

Теперь подставим значение данного расстояния и получим новое уравнение:
\[2\sqrt{3} = \sqrt{r^2 + (2a)^2}\]

Шаг 4: Нахождение значения \(r\) и \(a\)
Для нахождения значения \(r\) и \(a\) нужно разрешить систему из двух уравнений, которые мы получили на шаге 3. Возведем в квадрат оба уравнения:
\[\begin{cases} (16\pi\sqrt{3})^2 = (2\pi r H)^2 \\ (2\sqrt{3})^2 = (r^2 + (2a)^2) \end{cases}\]

Приведем полученные уравнения к виду:
\[\begin{cases} 768\pi^2 = 4\pi^2 r^2 H^2 \\ 12 = r^2 + 4a^2 \end{cases}\]

От первого уравнения возьмем в качестве неизвестной \(r^2\), а от второго уравнения возьмем \(a^2\):
\[\begin{cases} 768\pi^2 = 4\pi^2 r^2 H^2 \\ 12 = r^2 + 4a^2 \end{cases}\]

Разделим первое уравнение на \(4\pi^2\):
\[\begin{cases} 192 = r^2H^2 \\ 12 = r^2 + 4a^2 \end{cases}\]

Теперь получим выражение для \(r^2\) из второго уравнения:
\[r^2 = 12 - 4a^2\]

Подставим это значение в первое уравнение:
\[192 = (12 - 4a^2)H^2\]

Поделим обе части уравнения на \(12 - 4a^2\):
\[16 = H^2\]

Возьмем положительный корень:
\[H = 4\]

Теперь найдем \(r^2\) из второго уравнения:
\[r^2 = 12 - 4a^2\]
\[r^2 = 12 - 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\right)^2\]
\[r^2 = 12 - 3a^2\]

Мы можем найти значения \(r\) и \(a\), подставив их в уравнение системы:
\[\begin{cases} r^2 = 12 - 3a^2 \\ H = 4 \end{cases}\]

Мы можем найти значения \(r\) и \(a\) из этих уравнений.

Шаг 5: Нахождение объема вписанной шестиугольной призмы
Мы нашли значения \(r\) и \(a\). Теперь используем формулу для объема шестиугольной призмы:
\[V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2h\]

Мы знаем, что высота \(h\) равна \(H = 4\). Подставляем найденные значения и получаем ответ:
\[V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\right)^2 \cdot 4 = \frac{27}{4}a^3\]

Таким образом, объем вписанной правильной шестиугольной призмы равен \(\frac{27}{4}a^3\).