Какова площадь поверхности, образующей цилиндр при вращении единичного куба вокруг прямой, соединяющей центры

Хорошо, давайте разберем задачу о поверхности цилиндра, образованной вращением единичного куба вокруг прямой, соединяющей центры противолежащих граней.

Для начала, давайте представим себе этот процесс. Возьмем куб со стороной 1, который можно считать прямоугольным параллелепипедом. Затем мы будем вращать его вокруг оси, проходящей через центры двух противолежащих граней. Если мы пронаблюдаем этот процесс, мы увидим, что куб описывает всю поверхность цилиндра.

Давайте теперь рассмотрим пошаговое решение.

Шаг 1: Найдем окружность, которая будет образовывать основание цилиндра. Для этого возьмем диаметр куба, который равен длине его диагонали.

Диагональ куба можно найти по формуле Пифагора:
\[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2},\]
где \(a, b, c\) - длины сторон куба.

В случае единичного куба все стороны равны 1:
\[d = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.\]

Шаг 2: Теперь мы знаем, что радиус окружности, образующей основание цилиндра, равен половине диаметра:
\[r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Шаг 3: Теперь давайте найдем высоту цилиндра. Она будет равна длине ребра куба, что равно 1.

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Формула для этого:
\[S_{бок} = 2\pi r h,\]
где \(\pi\) - математическая константа, равная приближенно 3.14159.

Подставим значения:
\[S_{бок} = 2\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 1 = \pi \sqrt{3}.\]

Шаг 5: Найдем площадь основания цилиндра. Формула для этого:
\[S_{осн} = \pi r^2.\]

Подставим значения:
\[S_{осн} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3\pi}{4}.\]

Шаг 6: Наконец, найдем площадь поверхности цилиндра. Для этого сложим площадь боковой поверхности и площадь двух оснований:
\[S_{пов} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + \pi \sqrt{3} = \frac{6\pi}{4} + \pi \sqrt{3} = \frac{3\pi}{2} + \pi \sqrt{3} \approx 4.712 \, ед.площади.\]

Итак, площадь поверхности, образующей цилиндр при вращении единичного куба вокруг прямой, соединяющей центры противолежащих граней, равна примерно 4.712 единицам площади.