Какова площадь плоской фигуры, ограниченной графиками у = х² и у = –x + 2?
Веселый_Клоун
Дано уравнения двух функций, ограничивающих плоскую фигуру: \(y = x^2\) и \(y = -x\). Чтобы найти площадь фигуры, необходимо найти точки их пересечения.
Сначала найдем точки пересечения графиков \(y = x^2\) и \(y = -x\). Приравняем функции друг к другу и решим уравнение:
\[x^2 = -x\]
\[x^2 + x = 0\]
\[x(x + 1) = 0\]
Отсюда имеем два возможных решения: \(x = 0\) или \(x = -1\).
Теперь найдем соответствующие значения y для обеих точек:
Для \(x = 0\):
\[y = 0^2 = 0\]
Для \(x = -1\):
\[y = (-1)^2 = 1\]
Таким образом, точки пересечения графиков - (0, 0) и (-1, 1).
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками, нужно найти разность интегралов функций \(y = x^2\) и \(y = -x\) на интервале от -1 до 0 (от точки пересечения до оси y).
Рассчитаем разность интегралов:
\[\int_{-1}^{0} (x^2 - (-x)) \, dx = \int_{-1}^{0} (x^2 + x) \, dx\]
\[= [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2]_{-1}^{0} = [\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2] - [\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2]\]
\[= [0 + 0] - [-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}] = \frac{5}{6}\]
Таким образом, площадь плоской фигуры, ограниченной графиками \(y = x^2\) и \(y = -x\), равна \(\frac{5}{6}\) квадратных единиц.
Сначала найдем точки пересечения графиков \(y = x^2\) и \(y = -x\). Приравняем функции друг к другу и решим уравнение:
\[x^2 = -x\]
\[x^2 + x = 0\]
\[x(x + 1) = 0\]
Отсюда имеем два возможных решения: \(x = 0\) или \(x = -1\).
Теперь найдем соответствующие значения y для обеих точек:
Для \(x = 0\):
\[y = 0^2 = 0\]
Для \(x = -1\):
\[y = (-1)^2 = 1\]
Таким образом, точки пересечения графиков - (0, 0) и (-1, 1).
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками, нужно найти разность интегралов функций \(y = x^2\) и \(y = -x\) на интервале от -1 до 0 (от точки пересечения до оси y).
Рассчитаем разность интегралов:
\[\int_{-1}^{0} (x^2 - (-x)) \, dx = \int_{-1}^{0} (x^2 + x) \, dx\]
\[= [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2]_{-1}^{0} = [\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2] - [\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2]\]
\[= [0 + 0] - [-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}] = \frac{5}{6}\]
Таким образом, площадь плоской фигуры, ограниченной графиками \(y = x^2\) и \(y = -x\), равна \(\frac{5}{6}\) квадратных единиц.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
