Каковы значения функции f(x) = x2-6x+4 в вершине и точке (-3, 13)? С использованием вычисленных результатов, нарисуйте

Хорошо, рассмотрим пошаговое решение задачи.

1. Для начала, чтобы найти вершину параболы, нужно воспользоваться формулой \( x = -\frac{b}{{2a}} \), где a, b и c - коэффициенты в уравнении параболы \( ax^2 + bx + c \). В нашем случае, функция задана уравнением \( f(x) = x^2 - 6x + 4 \), значит a = 1, b = -6 и c = 4.

Вычислим x-координату вершины параболы:
\[ x = -\frac{b}{{2a}} = -\frac{-6}{{2 \cdot 1}} = 3 \]

2. Теперь найдем значение функции в вершине параболы, подставив найденное значение x в уравнение f(x):
\[ f(3) = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5 \]

Ответ: Значение функции f(x) в вершине параболы равно -5.

3. Чтобы найти значение функции в точке (-3, 13), подставим x = -3 в уравнение f(x):
\[ f(-3) = (-3)^2 - 6 \cdot (-3) + 4 = 9 + 18 + 4 = 31 \]

Ответ: Значение функции f(x) в точке (-3, 13) равно 31.

4. Чтобы построить график функции f(x), найдем еще несколько значений функции для различных x. Подставим выбранные значения x в уравнение f(x) и найдем соответствующие значения y.

Подставим x = -2:
\[ f(-2) = (-2)^2 - 6 \cdot (-2) + 4 = 4 + 12 + 4 = 20 \]

Подставим x = 0:
\[ f(0) = (0)^2 - 6 \cdot (0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4 \]

Подставим x = 4:
\[ f(4) = (4)^2 - 6 \cdot (4) + 4 = 16 - 24 + 4 = -4 \]

Теперь у нас есть несколько точек для построения графика: вершина параболы (3, -5), точка (-3, 13), точка (-2, 20), точка (0, 4) и точка (4, -4).

5. Построим график функции f(x) на координатной плоскости, используя полученные значения.

Выглядит это так:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-3 & 13 \\
-2 & 20 \\
0 & 4 \\
3 & -5 \\
4 & -4 \\
\hline
\end{array} \\
\\
\begin{array}{ccccc}
& & \uparrow & & \\
& & \\
& & \\
\downarrow & & & & \downarrow \\
& & \\
& & \\
\downarrow & & & & \downarrow \\
& & \\
& & \\
& & \downarrow & & \\
\end{array} \\
\\
\end{array}
\]

На графике видно, что парабола открывается вверх и проходит через точку вершины (3, -5). Также мы видим, что график пересекает ось y в точке (0, 4).

6. Теперь рассмотрим остальные заданные части задачи.

а) Чтобы найти корни функции, т.е. значения x, при которых \( f(x) = 0 \), нужно решить уравнение \( x^2 - 6x + 4 = 0 \). Можно воспользоваться формулой дискриминанта или применить факторизацию. В данном случае, дискриминант D равен 20, значит уравнение имеет два различных корня. Решив уравнение, получим корни: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 4 \).

Чтобы найти интервалы, в которых \( f(x) < 0 \) и \( f(x) > 0 \), нужно определить, где функция на графике находится ниже нуля и выше нуля, соответственно. Из графика видно, что \( f(x) < 0 \) в интервалах между корнями функции, т.е. \((- \infty, 2)\) и \((4, +\infty)\), а \( f(x) > 0 \) в интервале \((2, 4)\).

б) Для определения интервалов возрастания и убывания функции, нужно исследовать знак производной функции. В данном случае, функция \( f(x) = x^2 - 6x + 4 \) монотонно возрастает при \( x < 3 \) и монотонно убывает при \( x > 3 \).

в) Наибольшее значение функции можно найти, если мы построим график функции на всей числовой прямой. Однако, исходя из предоставленных данных, наибольшее значение функции f(x) равно 31, которое мы нашли в предыдущих расчетах в точке (-3, 13).

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять задачу и обосновать ответы.