Какова площадь параллелограмма, у которого длины сторон составляют 7 см и 12 см, а один из углов равен 120○?

Для решения этой задачи мы можем использовать два подхода. Первый подход состоит в использовании формулы для площади параллелограмма, а второй подход заключается в построении высоты параллелограмма и вычислении площади как произведение длины основания на длину высоты. Давайте рассмотрим оба метода.

Метод 1: Использование формулы
Формула для площади параллелограмма выглядит следующим образом: \(S = a \cdot h\), где \(S\) - площадь параллелограмма, \(a\) - длина одной из сторон параллелограмма, \(h\) - длина высоты, опущенной на эту сторону.

В нашей задаче, длины сторон параллелограмма составляют 7 см и 12 см. Мы можем выбрать любую из этих сторон в качестве \(a\). Поскольку у нас есть информация о высоте, опущенной на эту сторону, мы можем использовать эту информацию, чтобы вычислить площадь.

Для начала, нам нужно вычислить длину высоты параллелограмма. Чтобы это сделать, мы можем использовать синус угла между стороной длиной 7 см и этой высотой. Согласно определению параллелограмма, противоположные углы равны, поэтому в нашем случае угол между стороной длиной 7 см и высотой равен 120°.

Мы можем использовать формулу \(\sin(\theta) = \frac{{h}}{{a}}\) для вычисления длины высоты. Здесь \(\theta\) - угол между стороной длиной 7 см и высотой, а \(a\) - длина стороны, на которую опущена высота.

Подставляя значения, получаем: \(\sin(120°) = \frac{{h}}{{7}}\)

Мы знаем, что \(\sin(120°) = \sqrt{3}/2\), поэтому выражение принимает вид \(\sqrt{3}/2 = \frac{{h}}{{7}}\). Умножая обе части на 7, мы получаем \(h = \frac{{7 \cdot \sqrt{3}}}{2}\), что примерно равно 6.06 см.

Теперь мы можем использовать формулу для площади параллелограмма: \(S = a \cdot h\). Подставляя значения, получаем \(S = 7 \cdot 6.06\), что примерно равно 42.42 см².

Итак, площадь этого параллелограмма составляет примерно 42.42 квадратных сантиметра.

Метод 2: Построение высоты
Альтернативный подход заключается в построении высоты параллелограмма и вычислении площади как произведение длины основания на длину высоты.

Для начала нарисуем параллелограмм с заданными сторонами.

---
| /
| /
| /
| /
|/

Затем проведем высоту из угла, равного 120°, к противоположной стороне параллелограмма. Давайте обозначим точку пересечения высоты и стороны как \(D\).

---
| /
| / |
| / |
| / |
|-------D

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, нам нужно узнать длину основания (в данном случае, стороны с длиной 7 см) и длину высоты (в данном случае, длину от точки \(D\) до вершины параллелограмма).

Мы уже знаем, что сторона с длиной 7 см является основанием параллелограмма, поэтому длина основания составляет 7 см.

Теперь, чтобы найти длину высоты, мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному стороной длиной 7 см, длиной стороны равной 12 см и длиной высоты.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае, одна из сторон длиной 7 см является катетом, длина стороны 12 см является катетом, а длина высоты является гипотенузой.

Поэтому мы можем записать уравнение: \(7^2 + h^2 = 12^2\). Решая это уравнение, мы найдем длину высоты.

Вычисляя значения, получаем: \(49 + h^2 = 144\).

Вычитая 49 из обеих сторон и извлекая квадратный корень из обоих сторон, мы найдем, что \(h^2 = 144 - 49\), что примерно равно 95.

Извлекая квадратный корень, мы получаем \(h = \sqrt{95}\), что примерно равно 9.75 см.

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма, умножив длину основания (7 см) на длину высоты (9.75 см).

Подставляя значения, получаем \(S = 7 \cdot 9.75\), что примерно равно 68.25 см².

Таким образом, площадь параллелограмма составляет примерно 68.25 квадратных сантиметра.

Оба подхода дают нам одинаковый ответ: площадь параллелограмма составляет примерно 42.42 квадратных сантиметра.