Есть окружность с центром O и проведена касательная в точке А. На касательной отложены отрезки АВ и АС по разные

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательных окружности.

Дано, что ОА = 8 см, ВС = 30 см и угол АОС равен углу.
В данной ситуации угол между касательной и хордой (отрезком) приложенной к ней из одной точки является половинным углом от сегмента данной окружности.

Обозначим точку пересечения хорды ВС и ОА за B. Также, отрезок ОВ обозначим за x, а отрезок ОС за y.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник ОАВ (по свойству касательной и хорды), можем использовать теорему Пифагора:
\[OA^2 = OB^2 + AB^2.\]

Заметим, что AB равно разности ВС и ВВ. ВВ равно двойному хорды, проведенной из центра окружности O. Поэтому, ВВ = 2x.
Таким образом, мы получаем: \[OA^2 = OB^2 + (VC - 2x)^2.\]

Теперь рассмотрим треугольник ОСВ. Угол АОС описанной окружности равен углу, поэтому угол ВСО равен углу. Это дает нам равенство углов: угол ВСО = углу.
Значит, треугольники ОВС и ОАВ подобны (по признаку "угл-угл-угл"). Поэтому можем записать отношение соответствующих сторон:
\[\frac{OA}{OB} = \frac{OS}{OV}.\]
Подставляя известные значения, получаем:
\[\frac{8}{x} = \frac{30}{y}.\]

Теперь у нас есть система уравнений:
\[\begin{cases} OA^2 = OB^2 + (VC - 2x)^2, \\ \frac{8}{x} = \frac{30}{y}. \end{cases}\]

Решим систему последовательно.

Раскроем первое уравнение:

\[OA^2 = OB^2 + VC^2 - 4VCx + 4x^2.\]

Так как точка В лежит на касательной, то ВВ будет равна нулю.

\[OA^2 = OB^2 + VC^2 - 4VCx + 4x^2.\]
\[8^2 = OB^2 + 0 + 8^2 - 4 \cdot 8 \cdot x + 4x^2.\]
\[64 = OB^2 + 64 - 32x + 4x^2.\]
\[OB^2 - 32x + 4x^2 = 0.\]

Выразим OB через x:
\[OB = 32x - 4x^2.\]

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
\[\frac{8}{x} = \frac{30}{y}.\]

Теперь можем решить уравнение относительно x:
\[\frac{8}{x} = \frac{30}{32x - 4x^2}.\]
\[240x - 30x^2 = 8.\]
\[30x^2 - 240x + 8 = 0.\]

Решая это квадратное уравнение, получим два корня: x = 0,016 и x = 26,516.

Найдем соответствующие значения OB, используя ранее полученное выражение:
\[OB = 32x - 4x^2.\]
Подставляем первый корень: OB = 32 * 0,016 - 4 * (0,016)^2 = 0,512.
Подставляем второй корень: OB = 32 * 26,516 - 4 * (26,516)^2 = -69,312.

Учитывая, что отрезки не могут быть отрицательными, получаем, что ОВ = 0,512 см и ОС = 69,312 см. Поэтому, ОВ = 0,512 см и ОС = 69,312 см.