Какова площадь области, заключенной между графиком гиперболы y=-2/x и вертикальной прямой x=1?

Когда мы ищем площадь области, заключенной между графиками функций, нам нужно сначала найти точки пересечения графиков, а затем использовать интеграл для вычисления площади.

Для начала найдем точки пересечения графика гиперболы \(y=-\frac{2}{x}\) и вертикальной прямой \(x=1\). Чтобы это сделать, приравняем \(x\) к \(1\) и решим полученное уравнение относительно \(y\):

\[y = -\frac{2}{1} = -2.\]

То есть точка пересечения находится в координатах \((1, -2)\).

Теперь, чтобы найти площадь области между этими двумя графиками, нам нужно вычислить определенный интеграл от \(y = -2/x\) до \(y = 0\) вдоль \(x\) от \(x = 1\) до \(x = a\). Это обусловлено тем, что мы получаем отрицательную площадь, когда y меньше нуля. Таким образом, искомая площадь равна:

\[S = \int_{1}^{a} \left(0 - \left(-\frac{2}{x}\right)\right) dx.\]

Теперь найдем этот интеграл. Раскрывая скобки, получаем:

\[S = \int_{1}^{a} \left(2x^{-1}\right) dx.\]

Интегрируя это выражение, получим:

\[S = \left[2 \ln|x|\right]_{1}^{a}.\]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования и продолжим упрощение:

\[S = 2 \ln|a| - 2 \ln|1|.\]

Так как \(\ln|1| = 0\), то формула упрощается до:

\[S = 2 \ln|a|.\]

Таким образом, площадь области, заключенной между графиком гиперболы \(y = -2/x\) и вертикальной прямой \(x = 1\), равна \(2 \ln|a|\).