Какова площадь области, ограниченной границами y = 0, x = 1, x = 3 и параболой, проходящей через точки a(2: 1), b(1

Чтобы найти площадь области, ограниченной границами \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 3\) и параболой, проходящей через точки \(A(2,1)\), \(B(1,3)\) и \(C(3,5)\), мы можем использовать метод определенного интеграла.

Шаг 1: Определение уравнения параболы

Для определения уравнения параболы, проходящей через заданные точки, мы можем использовать общую формулу параболы \(y = ax^2 + bx + c\).

Подставим координаты каждой точки в это уравнение:

Для точки \(A(2,1)\):

\[1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c\]

Для точки \(B(1,3)\):

\[3 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c\]

Для точки \(C(3,5)\):

\[5 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c\]

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить, чтобы найти значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).

Шаг 2: Решение системы уравнений

Решим систему уравнений, используя методы замещения или сочетания. Приведу здесь решение:

Исходя из уравнений:

\[1 = 4a + 2b + c \quad (1)\]
\[3 = a + b + c \quad (2)\]
\[5 = 9a + 3b + c \quad (3)\]

Выразим \(c\) из уравнения (2):

\[c = 3 - a - b \quad (4)\]

Подставим \(c\) в уравнения (1) и (3):

\[1 = 4a + 2b + (3 - a - b)\]
\[5 = 9a + 3b + (3 - a - b)\]

Преобразуем уравнения:

\[1 = 3a + b + 3\]
\[5 = 8a + 2b + 3\]

Выразим \(b\) через \(a\) в уравнении (1):

\[b = -2a + 2\]

Подставим \(b\) в уравнение (2):

\[5 = 8a + 2(-2a + 2) + 3\]

Решим это уравнение:

\[5 = 8a - 4a + 4 + 3\]
\[5 = 4a + 7\]
\[-2 = 4a\]
\[a = -\frac{1}{2}\]

Теперь найдем \(b\) и \(c\) с использованием найденного значения \(a\):

\[b = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = 3\]
\[c = 3 - \left(-\frac{1}{2}\right) - 3 = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, уравнение параболы, проходящей через точки \(A(2,1)\), \(B(1,3)\) и \(C(3,5)\), является:

\[y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{1}{2}\]

Шаг 3: Найти площадь области

Чтобы найти площадь области, ограниченной границами \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 3\) и параболой, нам нужно вычислить определенный интеграл параболы от \(x = 1\) до \(x = 3\).

Формула для вычисления площади области между функцией \(y = f(x)\) и осями \(x\) является:

\[Площадь = \int_{a}^{b} f(x)dx\]

В данном случае, функция \(f(x)\) представляет параболу \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{1}{2}\), а пределы интегрирования \(a\) и \(b\) равны 1 и 3 соответственно.

Теперь вычислим этот интеграл:

\[Площадь = \int_{1}^{3} \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{1}{2}\right)dx\]

Выполним интегрирование:

\[Площадь = \left[-\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x\right]_{1}^{3}\]

Подставим пределы интегрирования:

\[Площадь = \left[-\frac{1}{6}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{1}{2}(3)\right] - \left[-\frac{1}{6}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(1)\right]\]

Вычислим значения в скобках:

\[Площадь = \left[-\frac{27}{6} + \frac{27}{2} - \frac{3}{2}\right] - \left[-\frac{1}{6} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right]\]

\[Площадь = \left[-\frac{9}{2} + \frac{27}{2} - \frac{3}{2}\right] - \left[-\frac{1}{6} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\right]\]

\[Площадь = \left[\frac{15}{2}\right] - \left[\frac{4}{3}\right]\]

\[Площадь = \frac{15}{2} - \frac{4}{3}\]

\[Площадь = \frac{45}{6} - \frac{8}{6}\]

\[Площадь = \frac{37}{6}\]

Таким образом, площадь области, ограниченной границами \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 3\) и параболой, проходящей через точки \(A(2,1)\), \(B(1,3)\) и \(C(3,5)\), равна \(\frac{37}{6}\) или приближенно 6.167.