Какова площадь области, ограниченной графиком функции y=2cosx, горизонтальной линией y=1 и вертикальными линиями x=-п/3

Для начала, давайте построим график функции \(y = 2\cos(x)\) и остальных линий, чтобы лучше представлять себе данную задачу.

Мы имеем график функции \(y = 2\cos(x)\), который представляет собой колебания вокруг оси \(x\) с амплитудой 2 и периодом \(2\pi\). Поскольку мы хотим узнать площадь между графиком функции \(y = 2\cos(x)\), горизонтальной линией \(y = 1\) и вертикальными линиями \(x = -\frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{\pi}{3}\), нам необходимо найти точки пересечения всех этих линий.

Для начала найдём точки пересечения функции \(y = 2\cos(x)\) и горизонтальной линии \(y = 1\):

\[2\cos(x) = 1\]

Для того, чтобы найти значения \(x\), при которых это равенство выполняется, возьмем арккосинус от обеих сторон уравнения:

\[\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = x\]

Округляя до трех значащих цифр, получаем \(x \approx 60.530°\) или \(x \approx 299.470°\).

Теперь найдем точки пересечения вертикальных линий \(x = -\frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{\pi}{3}\) с функцией \(y = 2\cos(x)\):

\[2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) \approx -1\]
\[2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \approx 1\]

Теперь у нас есть четыре точки пересечения. Обозначим их как \(A(-\frac{\pi}{3}, -1)\), \(B(\frac{\pi}{3}, 1)\), \(C(60.530°, 1)\) и \(D(299.470°, -1)\).

Теперь нам нужно найти площади трапеций, образованных графиком функции \(y = 2\cos(x)\), горизонтальной линией \(y = 1\) и вертикальными линиями \(x = -\frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{\pi}{3}\).

Площадь трапеции можно найти по формуле:

\[S = \frac{h}{2}(b_1 + b_2)\]

Где \(h\) - высота трапеции (разность между \(y\)-координатами верхней и нижней сторон), \(b_1\) и \(b_2\) - длины оснований трапеции (длины линий, параллельных оси \(x\)).

Для первой трапеции \(ABCD\) у нас \(h = 2 - (-1) = 3\) и \(b_1 = b_2 = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}\). Подставив значения в формулу, получаем:

\[S_1 = \frac{3}{2}\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi\]

Площадь первой трапеции \(ABCD\) равна \(2\pi\).

Для второй трапеции \(ACB\) у нас \(h = 1 - (-1) = 2\) и \(b_1 = 60.530° - (-\frac{\pi}{3})\) и \(b_2 = \frac{\pi}{3} - 60.530°\). Нам нужно использовать радианы для углов, поэтому:

\[b_1 = 60.530° \cdot \frac{\pi}{180°} - (-\frac{\pi}{3})\]
\[b_2 = \frac{\pi}{3} - 60.530° \cdot \frac{\pi}{180°}\]

Считаем значения:

\[b_1 = 0.530\pi + \frac{\pi}{3}\]
\[b_2 = \frac{\pi}{3} - 0.530\pi\]

Подставляем значения в формулу:

\[S_2 = \frac{2}{2}(0.530\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} - 0.530\pi) = \frac{\pi}{3}\]

Площадь второй трапеции \(ACB\) равна \(\frac{\pi}{3}\).

Итак, общая площадь области, ограниченной графиком функции \(y = 2\cos(x)\), горизонтальной линией \(y = 1\) и вертикальными линиями \(x = -\frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{\pi}{3}\), равна \(2\pi + \frac{\pi}{3}\).