Какова площадь меньшего треугольника из подобных треугольников, если его площадь отличается на 54 см2 от площади

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Перед нами задача о подобных треугольниках, что означает, что их углы равны. Обозначим больший треугольник как \(\triangle ABC\), а меньший треугольник как \(\triangle XYZ\), где \(A\), \(B\), \(C\) - вершины большего треугольника, а \(X\), \(Y\), \(Z\) - вершины меньшего треугольника.

Так как треугольники подобны, то отношение длин соответствующих сторон будет одинаковым. Обозначим стороны треугольников как \(a\), \(b\), \(c\) для треугольника \(\triangle ABC\) и \(x\), \(y\), \(z\) для треугольника \(\triangle XYZ\).

Мы знаем, что площадь меньшего треугольника отличается от площади большего на 54 см\(^2\). Пусть площадь большего треугольника равна \(S\). Тогда площадь меньшего треугольника будет равна \(S - 54\).

Мы можем записать формулу для площади треугольника через его стороны:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

Теперь мы можем записать формулы для площадей большего и меньшего треугольников:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]
\[S - 54 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot \sin(Z)\]

Так как треугольники подобны, углы \(C\) и \(Z\) равны. Значит, \(\sin(C) = \sin(Z)\). Обозначим \(\sin(C) = \sin(Z) = k\).

Теперь мы можем записать соотношение между площадями треугольников:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot k = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot k\]
\[a \cdot b = x \cdot y\]

Также нам дано, что периметр меньшего треугольника составляет \(\frac{4}{5}\) от периметра большего треугольника. Обозначим периметры треугольников как \(P\) и \(p\) для большего и меньшего треугольников соответственно.

Теперь мы можем записать формулы для периметров треугольников:

\[P = a + b + c\]
\[p = x + y + z\]

По условию задачи, \(\frac{p}{P} = \frac{4}{5}\). Подставим в соотношение периметров найденное выражение для сторон треугольников:

\[\frac{x + y + z}{a + b + c} = \frac{4}{5}\]

Таким образом, мы получили систему уравнений:

\[\begin{cases} a \cdot b = x \cdot y \\ \frac{x + y + z}{a + b + c} = \frac{4}{5} \end{cases}\]

Для решения этой системы нам не хватает информации о сторонах и углах треугольников. Если у вас есть дополнительные данные или цифры, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли продолжить решение задачи.