Какова площадь кругового сектора, соответствующего дуге окружности длиной 10π см и углом 150°?

Для того чтобы найти площадь кругового сектора, соответствующего заданной дуге окружности, необходимо использовать следующую формулу:

\[ S = \frac{{n \cdot \pi \cdot r^2}}{{360°}} \]

где \( S \) - площадь сектора, \( n \) - мера угла сектора, \( r \) - радиус окружности.

В данной задаче нам уже даны значения длины дуги окружности (10π см) и угла (150°). Мы можем использовать эти данные, чтобы найти радиус окружности и подставить значения в формулу для вычисления площади сектора.

Длина дуги окружности может быть вычислена с помощью следующей формулы:

\[ L = 2 \pi r \cdot \frac{n}{360°} \]

где \( L \) - длина дуги, \( r \) - радиус окружности, \( n \) - мера угла дуги.

Мы знаем, что длина дуги равна 10π см, а угол равен 150°. Подставим эти значения в формулу:

\[ 10 \pi = 2 \pi r \cdot \frac{150°}{360°} \]

Далее, решим это уравнение относительно радиуса \( r \).

\[ 10 \pi = 2 \pi r \cdot \frac{5}{12} \]

Упростим выражение:

\[ 10 = 2r \cdot \frac{5}{12} \]

\[ 10 = \frac{10}{12}r \]

\[ r = \frac{12}{10} \]

\[ r = \frac{6}{5} \]

Теперь, имея значение радиуса, мы можем подставить его в формулу для площади кругового сектора:

\[ S = \frac{{150° \cdot \pi \cdot (\frac{6}{5})^2}}{{360°}} \]

\[ S = \frac{{150 \cdot 36}}{{360 \cdot 25}} \cdot \pi \]

Упрощаем выражение:

\[ S = \frac{6}{25} \cdot \pi \]

Таким образом, площадь кругового сектора, соответствующего дуге окружности длиной 10π см и углу 150°, равна \(\frac{6}{25} \pi\) единиц площади.