1. Докажите, что отрезок, проходящий через точку O и параллельный основаниям AD и BC, делится пополам. Выразите отрезки

Решение:

1. Для доказательства того, что отрезок, проходящий через точку O и параллельный основаниям AD и BC, делится пополам, мы можем использовать свойство параллельных линий. Если две прямые линии параллельны и пересекают третью прямую, то отрезки, образованные этой пересечением, равны.

Обозначим точку пересечения отрезков MO и ON как точку M". Также обозначим точку пересечения отрезка M"N с отрезком AD как точку P.

Мы знаем, что линия MN параллельна основаниям AD и BC. Следовательно, по свойству параллельных линий, отрезок M"N делит основания AD и BC пополам.

Теперь докажем, что отрезок MO также делится пополам. Рассмотрим треугольник AOM". Мы знаем, что отрезок M"N делит основание AD пополам. Также, по свойству треугольника, медиана, проведенная к основанию, делит его пополам.

Таким образом, мы можем заключить, что отрезок, проходящий через точку O и параллельный основаниям AD и BC, действительно делится пополам. Обозначим длину MO и ON как \(a\).

2. Теперь выразим отрезки MO и ON через основания AD = x и BC = y. Мы знаем, что отрезок MO делит основание AD пополам, поэтому его длина равна половине длины основания AD.

\[MO = \frac{x}{2}\]

Аналогично, отрезок ON делит основание BC пополам, поэтому его длина равна половине длины основания BC.

\[ON = \frac{y}{2}\]

Таким образом, мы получили выражения для отрезков MO и ON через основания AD и BC.

2. Теперь определим длину отрезка, если AD = 11 см и BC = 5 см.

Подставим значения оснований AD = 11 см и BC = 5 см в наши выражения для отрезков MO и ON:

\[MO = \frac{11}{2}\] cm (или 5.5 cm)

\[ON = \frac{5}{2}\] cm (или 2.5 cm)

Таким образом, длина отрезка M"N равна сумме длин отрезков MO и ON:

\[M"N = MO + ON = \frac{11}{2} + \frac{5}{2} = \frac{16}{2} = 8\] cm

Ответ: Длина отрезка M"N равна 8 см. Записывая его в виде несокращенной дроби, получаем \(\frac{8}{1}\).