Каков радиус окружности, вписанной в данный павнобедренный треугольник, если высота, проведенная к его основанию

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему о вписанном угле.

Давайте обозначим радиус окружности как \( r \).

Заметим, что внутренний угол, образованный высотой треугольника и его основанием, равен прямому углу \((90^\circ)\). Это потому, что высота является перпендикуляром, проведенным из вершины треугольника к основанию, а в равнобедренном треугольнике такой перпендикуляр делит противолежащую сторону пополам.

Также, мы знаем, что каждый внутренний угол, образованный равными сторонами равнобедренного треугольника, равен \((180^\circ - \alpha)\), где \(\alpha\) - это мера угла между равными сторонами.

Давайте воспользуемся этой информацией, чтобы извлечь радиус окружности из формулы.

Так как сумма всех углов в треугольнике равна \((180^\circ)\), мы можем записать следующее уравнение:

\((180^\circ - \alpha) + (90^\circ) + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ\)

Раскрывая скобки и упрощая, получим:

\(540^\circ - 2\alpha = 180^\circ\)

Теперь выразим \(\alpha\):

\(2\alpha = 540^\circ - 180^\circ\)

\(2\alpha = 360^\circ\)

\(\alpha = \frac{360^\circ}{2}\)

\(\alpha = 180^\circ\)

Теперь, когда мы знаем значение угла \(\alpha\), можем использовать формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник:

\(r = \frac{{h}}{{\tan\left(\frac{{\alpha}}{{2}}\right)}}\)

Вставляя значение угла, получаем:

\(r = \frac{{h}}{{\tan\left(\frac{{180^\circ}}{{2}}\right)}}\)

Так как тангенс угла \(\frac{{180^\circ}}{{2}}\) равен нулю, мы получаем:

\(r = \frac{{h}}{{0}}\)

Поскольку деление на ноль невозможно, вписанная окружность не может иметь радиус, когда угол между равными сторонами равен \(180^\circ\). Это означает, что в данном случае радиус окружности не существует.