1) Какова длина ребра правильного тетраэдра, если его полная поверхность равна полной поверхности октаэдра с ребром

1) Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для нахождения площади поверхности правильного тетраэдра. Давайте разберемся шаг за шагом.

Первый шаг: Найдем площадь поверхности октаэдра с помощью формулы.

Общая формула для площади поверхности октаэдра с ребром а выглядит следующим образом:

\[S = 2 \sqrt{3} \cdot a^2\]

Здесь \(\sqrt{3}\) это просто корень из трех, которое является постоянным числом, их можно не менять.
Таким образом, площадь поверхности октаэдра равна \(2 \sqrt{3} \cdot a^2\).

Второй шаг: Определим связь между полной поверхностью правильного тетраэдра и площадью поверхности октаэдра.

Полная поверхность правильного тетраэдра состоит из четырех равных поверхностей, и каждая из этих поверхностей имеет треугольную форму. Таким образом, соответствующая площадь поверхности тетраэдра равна четырем площадям поверхности треугольника.

Третий шаг: Найдем длину ребра правильного тетраэдра.

Исходя из формулы, мы получаем:

\[S_{тетраэдр} = 4S_{треугольника}\]

Где \(S_{тетраэдр}\) - площадь поверхности тетраэдра, а \(S_{треугольника}\) - площадь одной поверхности треугольника.

Таким образом, площадь поверхности тетраэдра равна \(4 \cdot S_{треугольника}\).

Четвертый шаг: Анализируем связь между площадью поверхности тетраэдра и площадью поверхности октаэдра.

Так как каждая поверхность тетраэдра представляет собой треугольник, ребра которого являются диагоналями граней куба, то площадь поверхности треугольника равна половине произведения его оснований (диагоналей граней куба) и синусу угла между ними.

Поскольку все грани тетраэдра одинаковы, длина ребра тетраэдра будет равна длине одной из его граней.

Определяем площадь поверхности треугольника:

\[S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot ab1 \cdot b1d1 \cdot \sin(x)\]

Где x - угол между диагоналями ab1 и b1d1.

Пятый шаг: Подставляем значения в формулу.

Таким образом, мы можем записать:

\[4 \cdot S_{треугольника} = 2 \sqrt{3} \cdot a^2\]

Подставляя значение \(S_{треугольника}\):

\[2 \cdot ab1 \cdot b1d1 \cdot \sin(x) = 2 \sqrt{3} \cdot a^2\]

Теперь у нас есть выражение, связывающее длину ребра тетраэдра a и значения граневых диагоналей ab1 и b1d1.

\[ab1 \cdot b1d1 \cdot \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{a} \cdot a^2\]

Отсюда можно выразить длину ребра тетраэдра:

\[a = \frac{ab1 \cdot b1d1 \cdot \sin(x)}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, длина ребра правильного тетраэдра равна \(\frac{ab1 \cdot b1d1 \cdot \sin(x)}{\sqrt{3}}\).


2) Доказательство того, что тетраэдр cb1d1a является правильным в кубе abcda1b1c1d1 с ребром 1:
Мы можем доказать правильность тетраэдра cb1d1a, показав, что все его грани равны между собой и все его углы равны.

По условию, ab1, b1d1 и d1a являются диагоналями граней куба. Так как ребро куба равно 1, диагонали b1d1 и d1a имеют такую же длину. Также, поскольку abcda1b1c1d1 является кубом, ab1 и b1c1 также имеют одинаковую длину.

Теперь рассмотрим грани тетраэдра cb1d1a. Они являются гранями куба abcda1b1c1d1, следовательно, они имеют одинаковые длины.
Таким образом, все грани тетраэдра cb1d1a одинаковы по длине, что является признаком правильного тетраэдра.

Чтобы найти полную поверхность тетраэдра cb1d1a, мы должны найти площадь всех его граней и сложить эти значения.

В нашем случае, каждая грань тетраэдра является гранью куба abcda1b1c1d1.
Таким образом, площадь каждой грани будет равна \(1^2 = 1\).

У нас четыре грани, поэтому суммарная площадь граней \(4 \cdot 1 = 4\).

Таким образом, полная поверхность тетраэдра cb1d1a будет равна 4.