Какова площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной

Чтобы вычислить площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной \(a\), нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем каждый шаг подробно:

1. Найдем радиус вписанного круга. Для этого можно воспользоваться формулой, связывающей радиус окружности и сторону равностороннего треугольника. Зная, что в равностороннем треугольнике все стороны равны, можем записать это соотношение:
\[a = 2r\]
где \(r\) - радиус круга.

2. Используем формулу для вычисления площади круга. Площадь круга вычисляется по следующей формуле:
\[S = \pi r^2\]
где \(S\) - площадь круга, \(\pi\) - математическая константа, близкая к 3.14159, \(r\) - радиус круга.

3. Найдем площадь равностороннего треугольника. Формула для площади равностороннего треугольника:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\]
где \(S_{\text{треугольника}}\) - площадь треугольника, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) - коэффициент, обеспечивающий правильный расчет для равностороннего треугольника, \(a\) - сторона треугольника.

Теперь посмотрим на каждый шаг в действии:

Шаг 1: Найдем радиус вписанного круга.
Исходя из соотношения \(a = 2r\), можно получить выражение для радиуса:
\[r = \frac{a}{2}\]

Шаг 2: Вычислим площадь круга.
Подставим значение радиуса в формулу площади круга:
\[S = \pi (\frac{a}{2})^2\]
\[S = \pi \frac{a^2}{4}\]
Получаем, что площадь круга равна \(\frac{\pi a^2}{4}\).

Шаг 3: Найдем площадь равностороннего треугольника.
Подставим значение стороны треугольника в формулу:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\]

Итак, для нахождения площади круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной \(a\), нужно выполнить следующие шаги:
1. Вычислить радиус круга: \(r = \frac{a}{2}\).
2. Вычислить площадь круга: \(S = \frac{\pi a^2}{4}\).
3. Вычислить площадь равностороннего треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\).

Надеюсь, этот подробный ответ был понятен и полезен!