Какова площадь круга, описаного вокруг квадрата со стороной?

Чтобы найти площадь круга, описанного вокруг квадрата, сначала нам понадобится знать длину стороны квадрата. Пусть сторона квадрата равна \(S\).

Для начала, найдем диагональ квадрата. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон квадрата. Так как квадрат со стороной \(S\) имеет стороны равные между собой, то получаем следующее уравнение:

\[S^2 + S^2 = D^2\]

где \(D\) - диагональ квадрата.

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[2S^2 = D^2\]

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\(\sqrt{2S^2} = \sqrt{D^2}\)

\[ \sqrt{2}S = D\]

Таким образом, диагональ квадрата равна \(\sqrt{2}S\).

Теперь давайте найдем радиус круга, который описан вокруг квадрата. Радиус круга равен половине диагонали квадрата, то есть \(\frac{1}{2}\) от диагонали.

\[R = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot S\]

Теперь, используя формулу для площади круга \(A = \pi R^2\), подставим значение радиуса и упростим выражение:

\[A = \pi \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot S\right)^2\]

\[A = \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot S^2\]

\[A = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot S^2\]

Таким образом, площадь круга, описанного вокруг квадрата со стороной \(S\), равна \(\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot S^2\). Это будет ответ для задачи.

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным! Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!