15 детальдың ішінен 10-дан біреу боялған. Жинаушы кез келген 3 деталь алды. Кез келген 3 деталь да боялғандығынан

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Изначально, у нас есть 15 деталей, и одна из них будет окрашена в цвет. Задача состоит в определении вероятности того, что из трех выбранных деталей хотя бы одна будет окрашена.

Первым шагом рассмотрим число возможных вариантов выбора трех деталей из 15. Для этого мы будем использовать комбинаторику. Формула для комбинаций без повторений выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

Где n - число элементов для выбора, k - число элементов, которые нужно выбрать.

В нашем случае, n = 15 (общее количество деталей), k = 3 (количество деталей, которые мы выбираем). Подставим значения в формулу:

\[
C(15, 3) = \frac{{15!}}{{3! \cdot (15-3)!}} = \frac{{15!}}{{3! \cdot 12!}}
\]

Рассчитаем факториалы, чтобы упростить формулу:

\[
C(15, 3) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 12!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}
\]

Далее, нам интересна вероятность выбрать три детали, из которых хотя бы одна будет окрашена. Поскольку у нас одна деталь окрашена, то есть 14 деталей, которые могут быть выбраны и не окрашены. Таким образом, число благоприятных исходов равно:

\[
C(14, 3) = \frac{{14!}}{{3! \cdot (14-3)!}} = \frac{{14!}}{{3! \cdot 11!}}
\]

Рассчитаем факториалы:

\[
C(14, 3) = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11!}} = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 12}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}
\]

Теперь мы можем рассчитать вероятность такого исхода, разделив число благоприятных исходов на общее число возможных исходов:

\[
P = \frac{{C(14, 3)}}{{C(15, 3)}} = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 12}}{{15 \cdot 14 \cdot 13}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{{4}}{{5}}
\]

Итак, вероятность выбрать три детали, из которых хотя бы одна будет окрашена, составляет \(\frac{{4}}{{5}}\) или 80%.