Какое минимальное натуральное n необходимо, чтобы 45 возвести в степень и получить число, которое делится нацело

Давайте решим задачу пошагово.

1. Поскольку мы хотим получить число, которое делится нацело на 75, мы можем записать это как \(75^n\).

2. Теперь нам нужно определить, какое минимальное натуральное значение n даст нам это число. Мы знаем, что 45 - это 3 умноженное на 3 умноженное на 5, то есть \(45 = 3\cdot3\cdot5\).

3. Поднесем 45 в степень n: \(45^n = (3\cdot3\cdot5)^n\).

4. Применим свойство степени: \((a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n\).

5. Подставим значения чисел в эту формулу: \(45^n = 3^n \cdot 3^n \cdot 5^n\).

6. Теперь нам нужно понять, какие степени тройки и пятерки нам нужны, чтобы у нас было достаточное количество делителей 3 и 5 для получения 75 в степени n.

7. Мы знаем, что в 75 - это 3 умноженное на 5 умноженное на 5, то есть \(75 = 3\cdot5\cdot5\).

8. Сравнивая это с нашим выражением, мы видим, что нам нужно, чтобы натуральное число n давало нам как минимум два множителя 5 и один множитель 3.

9. Мы также замечаем, что в нашем выражении \(45^n\) количество множителей 3 всегда будет четным, поскольку для каждого множителя 3 мы имеем два множителя 3.

10. Это означает, что нам нужно, чтобы количество множителей 5 было нечетным. В нашем случае это означает, что \(n \geq 1\), чтобы получить один множитель 5.

Таким образом, минимальное натуральное значение n, которое необходимо, чтобы 45 возвести в степень и получить число, которое делится нацело на 75 возвести в степень, равно 1.