Какова площадь круга, который вписан в правильный шестиугольник со стороной длиной

Для решения этой задачи, давайте вначале вспомним основные формулы, связанные с правильными многоугольниками и окружностями.

1. Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны.

2. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к стороне многоугольника.

3. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, и радиус описанной окружности (проведенной через вершины многоугольника) связаны следующим образом: радиус описанной окружности равен радиусу вписанной окружности, умноженному на \(\sqrt{3}\).

4. Площадь правильного многоугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.

Теперь применим эти формулы к нашей задаче.

У нас есть правильный шестиугольник со стороной длиной \(s\). Радиус вписанной окружности обозначим как \(r\), а радиус описанной окружности - как \(R\).

В нашем случае, радиус описанной окружности \(R\) будет равен \(s\).

Используя формулу, связывающую радиус описанной окружности и вписанной окружности, мы можем найти радиус вписанной окружности \(r\):

\[r = \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{s}{\sqrt{3}}\]

Теперь, используя формулу для площади правильного многоугольника, можем найти площадь круга, который вписан в наш шестиугольник.

Площадь правильного шестиугольника равна:

\[S_{\text{многоугольника}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot s^2\]

Площадь круга можно найти как площадь окружности с радиусом \(r\):

\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2\]

Подставим значение радиуса и решим задачу:

\[S_{\text{круга}} = \pi \cdot \left(\frac{s}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{s^2}{3}\]

Таким образом, площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной длиной \(s\), равна \(\frac{\pi s^2}{3}\).