Какова площадь боковой поверхности прямой призмы, основание которой является ромбом с острым углом 45° и высотой

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь боковой поверхности прямой призмы.

Из условия задачи известно, что в прямую призму вписан цилиндр, и его боковая поверхность равна 153π см².

Пусть сторона ромба, являющегося основанием призмы, равна a. Так как угол в ромбе равен 45°, то для решения задачи необходимо найти диагональ ромба, которая равна d.

Поскольку угол в ромбе равен 45°, а это равносильно утверждению, что каждый из двух треугольников, образованных этой диагональю, является прямоугольным треугольником, то мы можем найти диагональ ромба, используя теорему Пифагора.

Таким образом, по теореме Пифагора имеем:

\[d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\]

Или:

\[d = \sqrt{2} \cdot a\]

Теперь мы можем выразить основание ромба через диагональ:

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы складывается из площади поверхности ромба и площади боковой поверхности цилиндра.

Площадь поверхности ромба можно найти, используя формулу:

\[S_r = 2 \cdot a \cdot h\]

где h - высота призмы, равная 17 см, а a - сторона ромба.

Таким образом, площадь поверхности ромба будет:

\[S_r = 2 \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot h\]

С учетом данного значения площади поверхности ромба, мы можем найти площадь боковой поверхности прямой призмы, используя следующее соотношение:

\[S_{\text{бок.пр}} = S_r + S_c\]

где \(S_{\text{бок.пр}}\) - площадь боковой поверхности прямой призмы, \(S_c\) - площадь боковой поверхности цилиндра.

Теперь, подставляя известные значения в формулы, получаем:

\[S_c = 153\pi \, \text{см}^2\]
\[h = 17 \, \text{см}\]
\[d = \sqrt{2} \cdot a\]

\[S_r = 2 \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot h\]
\[S_{\text{бок.пр}} = S_r + S_c\]

Так как в задаче даны значения в сантиметрах, то площадь боковой поверхности прямой призмы будет иметь размерность сантиметров квадратных. Следовательно, ответ должен быть без извлечения корня из отрицательного числа.

Объединяя эти уравнения и решая их, получаем:

\[\begin{align*}
S_r &= 2 \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot h \\
&= 2 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot a}{\sqrt{2}} \cdot h \\
&= 2 \cdot a \cdot h \\
&= 2 \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot 17 \\
&= 34 \cdot \frac{d}{\sqrt{2}}
\end{align*}\]

\[S_{\text{бок.пр}} = S_r + S_c\]
\[S_{\text{бок.пр}} = 34 \cdot \frac{d}{\sqrt{2}} + 153\pi\]

Таким образом, мы получили выражение для площади боковой поверхности прямой призмы. Подставляя значение \(d = \sqrt{2} \cdot a\), получим окончательное выражение:

\[S_{\text{бок.пр}} = 34 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot a}{\sqrt{2}} + 153\pi = 34a + 153\pi\]

Окончательный ответ: \(S_{\text{бок.пр}} = 34a + 153\pi\) квадратных сантиметра.