Каков радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника, если известно, что он равен 6, и один из углов между стороной

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства прямоугольников и окружностей. Первым делом, давайте определим, что такое радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника, равен половине диагонали прямоугольника. Зная, что длина диагонали прямоугольника равна 6, мы можем найти радиус.

Имея прямоугольник, у которого один из углов между стороной прямоугольника и диагональю равен 75 градусов, мы можем воспользоваться тригонометрической функцией синуса.

\(\sin(75^\circ) = \frac{{\text{{сторона прямоугольника}}}}{{\text{{диагональ прямоугольника}}}}\)

Мы знаем, что диагональ прямоугольника равна 6, поэтому можем записать:

\(\sin(75^\circ) = \frac{{\text{{сторона прямоугольника}}}}{6}\)

Теперь найдем сторону прямоугольника:

\(\text{{сторона прямоугольника}} = 6 \times \sin(75^\circ)\)

Для нахождения радиуса окружности делим эту сторону на 2:

\(\text{{радиус окружности}} = \frac{{6 \times \sin(75^\circ)}}{2}\)

Теперь, когда у нас есть радиус окружности, мы можем найти площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его двух сторон. Для нашего случая, где одна сторона равна радиусу окружности, а другая сторона равна диагонали прямоугольника, мы можем записать:

\(\text{{площадь прямоугольника}} = \text{{радиус окружности}} \times \text{{диагональ прямоугольника}}\)

Подставим известные значения:

\(\text{{площадь прямоугольника}} = \frac{{6 \times \sin(75^\circ)}}{2} \times 6\)

Далее нам нужно рассчитать значение синуса \(75^\circ\). Возьмем десятичное приближение:

\(\sin(75^\circ) \approx 0,966\)

Подставим это значение и выразим площадь прямоугольника:

\(\text{{площадь прямоугольника}} = \frac{{6 \times 0,966}}{2} \times 6\)

\(\text{{площадь прямоугольника}} = 17,496\)

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника, равен \(\frac{{6 \times 0,966}}{2}\), а площадь этого прямоугольника составляет 17,496.