Какова площадь боковой поверхности и полной поверхности вращающегося тела? Вращается прямоугольная трапеция вокруг

Для начала нам необходимо определить форму тела, которое получится при вращении прямоугольной трапеции вокруг стороны \(АВ\). В данном случае она будет иметь форму усеченного конуса.

Чтобы найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, нам понадобятся его высота и образующая. Образующая - это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности его основания. В данной задаче, высота дана - это проведенная из вершины диагональ \(ДН\), равная \(3\sqrt{2}\) см. Чтобы найти образующую, нам необходимо найти длину отрезка \(ДС\). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

Так как прямоугольная трапеция \(АВСД\) является прямоугольником, то сторона \(ДС\) равна стороне \(СВ\), которая известна и равна 10 см.

Используя теорему Пифагора, получаем:

\[
ДС^2 = ДН^2 + НС^2
\]

\[
ДС^2 = (3\sqrt{2})^2 + 10^2
\]

\[
ДС^2 = 18 + 100
\]

\[
ДС^2 = 118
\]

\[
ДС = \sqrt{118}
\]

\[
ДС \approx 10.862.
\]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности усеченного конуса по формуле:

\[
П_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l,
\]

где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы оснований, а \(l\) - образующая. В нашем случае, радиус \(r_1\) равен нулю, так как конус усеченный, а радиус \(r_2\) равен стороне \(СВ/2\), то есть 10/2 = 5 см. Образующая \(l\) равна \(ДС\) или примерно 10.862 см.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
П_{бок} = \pi (0 + 5) \cdot 10.862 \approx 171.213.
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности получившегося вращающегося тела будет приближенно равна 171.213 квадратных сантиметров.

Чтобы найти полную поверхность вращающегося тела, нам также необходимо добавить площадь оснований. В данном случае, полная поверхность будет равна площади боковой поверхности плюс площадь двух оснований.

Так как прямоугольная трапеция \(АВСД\) - это основание усеченного конуса, площадь каждого его основания будет равна площади прямоугольника \(АВСД\). Для нахождения площади прямоугольника, нужно перемножить его стороны \(АС\) и \(СД\):

\[
П_{осн} = АС \cdot СД.
\]

\[
П_{осн} = 10 \cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \approx 42.426.
\]

Таким образом, полная поверхность вращающегося тела приближенно будет равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований:

\[
П_{полн} = П_{бок} + 2 \cdot П_{осн} = 171.213 + 2 \cdot 42.426 = 256.065.
\]

Ответ: площадь боковой поверхности получившегося тела приближенно равна 171.213 квадратных сантиметров, а полная поверхность - 256.065 квадратных сантиметров.