Какова обыкновенная дробь, в которой числитель на 1 меньше знаменателя? Если к числителю прибавить 2, а к знаменателю

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть обыкновенная дробь, которую мы ищем, имеет числитель \(x\) и знаменатель \(y\). Исходя из условия задачи, мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{x}{y} = \frac{y-1}{y}\)

Теперь перейдем ко второй части задачи. Условие гласит, что если мы прибавим 2 к числителю (\(x+2\)) и вычтем 5 из знаменателя (\(y-5\)), то получим дробь, которая на 0,2 меньше. Это означает, что:

\(\frac{x+2}{y-5} = \frac{x}{y} - 0,2\)

Давайте раскроем эти уравнения и решим систему.

Сначала упростим первое уравнение:

\(\frac{x}{y} = \frac{y-1}{y}\)
\(x = \frac{y-1}{y} \cdot y\)
\(x = y-1\)

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение:

\(\frac{x+2}{y-5} = \frac{x}{y} - 0,2\)
\(\frac{y-1+2}{y-5} = \frac{y-1}{y} - 0,2\)

Упростим оба выражения:

\(\frac{y+1}{y-5} = \frac{y-1}{y} - 0,2\)
\(\frac{y+1}{y-5} = \frac{y-1}{y} - \frac{0,2y}{y}\)

Теперь уберем дроби из уравнения, умножив оба выражения на \(y(y-5)\):

\(y(y+1) = (y-5)(y-1) - 0,2y(y-5)\)

Раскроем скобки и произведем упрощение:

\(y^2 + y = y^2 - 6y + 5 - 0,2y^2 + y\)
\(y^2 + y = y^2 - 0,2y^2 - 6y + y + 5\)

Теперь соберем все слагаемые в одну часть уравнения:

\(0 = -0,2y^2 - 6y + 5\)

Перенесем все слагаемые влево:

\(0,2y^2 + 6y - 5 = 0\)

Это квадратное уравнение, которое можно решить. Мы можем использовать формулу дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

Где \(a = 0,2\), \(b = 6\), и \(c = -5\). Рассчитаем дискриминант:

\(D = (6)^2 - 4(0,2)(-5) = 36 + 4 = 40\)

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня уравнения. Используем формулу для нахождения корней:

\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)
\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

\(y_1 = \frac{-6 + \sqrt{40}}{2(0,2)}\)
\(y_2 = \frac{-6 - \sqrt{40}}{2(0,2)}\)

\(\sqrt{40} \approx 6,32\)

\(y_1 = \frac{-6 + 6,32}{0,4} \approx \frac{0,32}{0,4} = 0,8\)
\(y_2 = \frac{-6 - 6,32}{0,4} \approx \frac{-12,32}{0,4} = -30,8\)

Так как мы ищем обыкновенную дробь со знаменателем, мы выберем положительное значение \(y_1 = 0,8\).

Теперь найдем числитель, используя значение \(y_1\) в первом уравнении:

\(x = y-1\)
\(x = 0,8-1\)
\(x = -0,2\)

Однако, изначально в условии присутствует условие, что числитель на 1 меньше знаменателя. Таким образом, наше значение \(x\) будет равно \(0,8-1 = -0,2\).

Итак, обыкновенная дробь, которую мы ищем, равна \(\frac{-0,2}{0,8}\).