Какова обратная функция для функции y=-x²+4x-6 при D(y) = [2;+∞)?

Чтобы найти обратную функцию для заданной функции \(y = -x^2 + 4x - 6\) при \(D(y) = [2;+\infty)\), мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Предположим, что \(y\) является независимой переменной \(x\), а \(x\) является зависимой переменной \(y\).

Шаг 2: Запишем исходную функцию в виде уравнения:
\[y = -x^2 + 4x - 6\]

Шаг 3: Поменяем местами переменные \(x\) и \(y\):
\[x = -y^2 + 4y - 6\]

Шаг 4: Теперь решим полученное уравнение относительно \(y\). Для этого приведем его к виду квадратного уравнения:
\[0 = y^2 - 4y - x - 6\]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[D = (-4)^2 - 4(1)(-x-6) = 16 + 4x + 24 = 4x + 40\]

Для того чтобы квадратное уравнение имело обратную функцию, дискриминант \(D\) должен быть положительным числом. В данном случае \(D\) равен \(4x + 40\).

Шаг 6: Рассмотрим два случая: когда \(D > 0\) и когда \(D \leq 0\).

Случай 1: Пусть \(D > 0\). Тогда полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня:
\[y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4x + 40}}{2} = 2 + \sqrt{x + 10}\]
\[y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4x + 40}}{2} = 2 - \sqrt{x + 10}\]

Случай 2: Пусть \(D \leq 0\). В этом случае квадратное уравнение не имеет действительных корней, и значит обратная функция отсутствует.

Шаг 7: Учитывая ограничение на область значений функции, \(D(y) = [2;+\infty)\), мы можем отбросить значения, которые не удовлетворяют этому условию. Исходная функция \(y = -x^2 + 4x - 6\) имеет вершину в точке \((2, -2)\). Так как область значений начинается с 2, то мы оставляем только положительное значение \(y\), т.е.:
\[y = 2 + \sqrt{x + 10}\]

Вот искомая обратная функция \(y = 2 + \sqrt{x + 10}\) для функции \(y = -x^2 + 4x - 6\) при \(D(y) = [2;+\infty)\).