Какова область значений функции y = sqrt(12 - x^2 - x) / sqrt(x)?

Конечно, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с того, что у нас есть функция \(y = \frac{\sqrt{12 - x^2 - x}}{\sqrt{x}}\).

2. Прежде чем приступить к определению области значений, давайте посмотрим на ограничения самой функции. Мы знаем, что функция корня (\(\sqrt{\cdot}\)) определена только для неотрицательных чисел. То же самое касается и знаменателя в дроби, корень (\(\sqrt{\cdot}\)) должен быть неотрицательным. Поэтому нам нужно учесть эти ограничения при определении области значений.

3. Теперь давайте рассмотрим область значений функции. Обратите внимание, что при заданных ограничениях на корень и дробь, у нас есть условие, что и числитель, и знаменатель должны быть неотрицательными.

4. Для определения допустимых значений \(x\) мы можем использовать неравенства. Начнем с неотрицательности числителя:
\[
12 - x^2 - x \geq 0
\]

5. Давайте решим это неравенство. Сначала перепишем его в канонической форме:
\[
x^2 + x - 12 \leq 0
\]

6. Теперь найдем корни этого уравнения, раскладывая его на множители или используя квадратное уравнение. У нас получается: \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 3\).

7. Теперь наша задача состоит в определении интервалов, где неравенство \(x^2 + x - 12 \leq 0\) истинно. Мы можем использовать метод проверки знака. Перечислим значения между корнями и вне них, чтобы определить, когда эти значения удовлетворяют неравенству.

8. Давайте возьмем число из интервала \((-4, 3)\), например, \(x_0 = 0\). Подставим его в неравенство \(x^2 + x - 12 \leq 0\).
Для \(x_0 = 0\) неравенство становится: \(0^2 + 0 - 12 \leq 0\), что эквивалентно \(-12 \leq 0\), что истинно. Таким образом, интервал \((-4, 3)\) является допустимым значением для числителя.

9. Теперь давайте рассмотрим знаменатель, чтобы удостовериться, что у нас нет отрицательных значений. Знаменатель \(\sqrt{x}\) должен быть неотрицательным. Поэтому у нас есть условие \(x \geq 0\).

10. Итак, мы получаем, что интервал \(x \geq 0\) учитывает ограничение на знаменатель.

11. Объединяя наши результаты, мы приходим к выводу, что область значений функции \(y = \frac{\sqrt{12 - x^2 - x}}{\sqrt{x}}\) - это интервал \((-4, 0] \cup [3, +\infty)\), при условии, что \(x\) должен быть больше или равен нулю.

Это подробный ответ, основанный на анализе ограничений и решении неравенств, чтобы определить область значений заданной функции. Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.